Miettes topologiques
I] Connexité
Soit X un espace topologique. On appelle of de X toute partie ouverte et fermée. Malgré l’allure paradoxale de cette définition, il existe toujours des ofs, ne serait-ce que la partie vide et la partie pleine. Précisément, on dit que X est connexe s’il n’y en a pas d’autre. On peut le dire de plusieurs manières équivalentes :
On dit plus généralement qu’une partie Y de X est connexe si Y est un espace connexe pour la topologie induite.
Intuitivement, connexe veut dire " d’un seul tenant ".
Rappels de quelques résultats important en topologie générale :
Fait 1 : Les parties connexes de
ú sont les intervalles. En particulier ú est connexe. A contrario, Q n’est pas connexe : tout nombre irrationnel partage Q en 2 intervalles ouverts et fermés.Fait 2 : Toute fonction continue sur un espace topologique X transforme une partie connexe en une partie connexe de l’espace d’arrivée. En particulier le support d’un arc est connexe.
Fait 3 : Si A est une partie connexe d’un espace topologique X, toute partie B comprise entre A et son adhérence
` A est connexe. En particulier l’adhérence d’une partie connexe est connexe.Fait 4 : La réunion d’une famille de parties connexes dont l’intersection est non vide est une partie connexe.
Soit X un espace topologique. Considérons une partie connexe non vide A de X. D’après le fait 4, la réunion C des parties connexes Y vérifiant A
Ì Y est connexe. Par construction c’est la plus grande partie connexe de X qui contient A. On dit que C est une composante connexe de X.2 composantes connexes distinctes C1 et C2 sont disjointes. Sinon C1
È C2 serait connexe (fait 4) et strictement plus grand que C1 ou que C2. Pour tout x Î X, {x} est connexe. Donc il existe une composante connexe C telle que x Î C. D’après ce qu’on vient de voir, elle est unique : c’est la composante connexe de x. La notion de composante connexe donne un sens précis à l’idée de " morceau ".Fait 5 : Les composantes connexes d’un espace topologique sont fermées.
ATTENTION : Si Y est une partie de X, les composantes connexes de Y sont fermées dans Y (i.e. pour la topologie induite). C’est seulement quand Y est fermé qu’on peut assurer que ses composantes connexes sont fermées dans X.
Dans
÷ appelons escalier tout chemin polygonal dont chaque segment est parallèle à l’un des axes de coordonnées.Lemme
: Soit W un ouvert de ÷ . Les conditions suivantes sont équivalentes :Proposition
: Dans ÷ , les domaines sont exactement les ouverts connexes.Lemme
: Les composantes connexes d’un ouvert de ÷ sont ouvertes.
II] Connexité simple :
Le concept d’espace topologique simplement connexe est une notion assez délicate, dont la mise en œuvre repose sur une certaine dose de topologie algébrique. Mais nous n’aurons besoin ici que du cas particulier des ouverts de
÷ , et fort heureusement la notion devient à la fois simple et intuitive. Tout revient à donner un sens à la phrase : " W est un ouvert sans trou ".Définition
: On appelle trou d’un ensemble A Ì ÷ toute composante connexe de
(où 
est le plan complété de ÷ ) qui ne contient pas le point à l’infini.Notons qu’un trou est nécessairement une composante connexe de
÷ – A. Il peut sembler bizarre de faire intervenir le plan complété pour définir une notion qui concerne seulement les parties de ÷ .Lemme
: Les trous d’un ensemble borné A Ì ÷ sont les composantes connexes bornées de ÷ – A.Lemme
: Les trous d’un ouvert W Ì ÷ sont compacts.
Définition
: On dit qu’un ouvert W Ì ÷ est simplement connexe s’il est connexe sans trou.Lemme
: Tout ouvert étoilé est simplement connexe.
Pour montrer qu’un ouvert
W est simplement connexe il suffit d’établir à la fois :Que
Que
÷ – W n’a pas de composante connexe bornée
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