Soit (f_n)_n une suite de fonctions complexes définies dans un ouvert W de ÷ . Il existe plusieurs notions " naturelles " de convergence de cette suite vers une fonction f. La plus ordinaire est la convergence point par point, appelée aussi convergence simple. Comme elle ne préserve pas beaucoup de propriétés, on considère divers renforcements de ce concept. Le plus draconien est la convergence uniforme, dont nous ne rappelons pas ici la définition supposée connue. Entre ces 2 extrêmes, il existe une infinité de notions intermédiaires, qui représentent des compromis entre les avantages désirés et le besoin d’une souplesse suffisante. Parmi celles-ci, on trouve en particulier la convergence uniforme sur les parties compactes de W , ou convergence compacte.

Lemme : Dans les conditions précédentes, la convergence compacte préserve la continuité.

En pratique, il n’est pas nécessaire de considérer tous les compacts. Voici un critère commode :

Lemme : Pour une suite (f_n)_n de fonctions complexes définies sur un ouvert W de ÷ et de limite simple f, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. La convergence est uniforme sur tout compact K Ì W
2. La convergence est uniforme sur tout disque compact D Ì W

L’énoncé suivant permet quelquefois de ramener l’étude d’une suite de fonctions à celle d’une suite plus favorable.

Lemme : Soit (f_n)_n une suite de fonctions complexes continues sur un compact K de ÷ , qui converge uniformément vers f. Etant donnée une fonction complexe g continue sur ÷ , la suite de fonctions composée g · f_n converge uniformément vers g · f.

Proposition : Soit (f_n)_n une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert W , qui converge uniformément sur tout compact vers une fonction f. Alors :

1. f est holomorphe
2. Pour tout entier k ³ 1, (f_n^(k))_n converge vers f^(k) uniformément sur tout compact

Il devient banal de constater le contraste avec l’analyse réelle, où la convergence uniforme ne préserve pas la dérivabilité. La proposition précédente est l’outil principal de ce chapitre.

Lemme : Si chaque f_n a une fausse singularité en a, il en est de même pour f.

Les pôles jouissent d’une stabilité analogue, du moins si leur ordre reste borné :

Lemme : Etant donné un entier positif k, si chaque f_n a un pôle d’ordre £ k en a, a est pour f un pôle d’ordre £ k ou une fausse singularité.

Ces 2 derniers lemmes contiennent à peu près tout ce qu’on peut dire de général sur cette question. Ainsi, même si tous les f_n ont en a un pôle d’ordre exactement k, f peut avoir un pôle d’ordre < k ou même une fausse singularité.

Le paragraphe 1 contient en principe tous les éléments pour étudier des suites de fonctions méromorphes. Mais nous allons décrire un mode de convergence spécialement bien adapté à la situation, bien que reposant sur des hypothèses restrictives. Le langage des séries sera le plus adéquat. On considère un ouvert W et une série de la forme :

où chaque terme u_n est une fonction méromorphe dans W . Nous ferons l’hypothèse suivante :

1. Pour tout n ³ n₀ u_n n’a pas de pôle sur K
2. La série

converge uniformément sur K

Nous dirons que la série converge uniformément sur tout compact. C’est une acception élargie de la notion de convergence, qui intègre une gestion des pôles. Si les u_n sont en réalité holomorphes, on retrouve la première conception.

Proposition : Soit une série de fonctions méromorphes dans un ouvert W  : . On suppose qu’elle converge uniformément sur tout compact. Alors :

1. Sa somme u est méromorphe sur W
2. Pour tout entier k > 0, la série

converge uniformément sur tout compact et a pour somme u^(k).