Chapitre 5

Espaces compacts

I - Définition d'un recouvrement:

1°) E un ensemble et A Ì E. On appelle recouvrement de A, toute famille (U_i)_{i Î I} de parties de E telles que Ce recouvrement est dit fini si I est fini. En particulier, un recouvrement de E vérifie Lorsque E est un espace topologique, on dit que le recouvrement est ouvert si chaque U_i est un ouvert.

2°) Le recouvrement est appelé partition si les U_i sont disjoints deux à deux i.e. i ¹ j, U_i Ç U_j = Æ .

II - Définition d'un espace compact:

Définition:

Un espace topologique E est compact s’il est séparé et s’il vérifie l’axiome de Borel-Lebesgue:

a) De tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous recouvrement fini de E

ou ce qui est équivalent:

a¢ ) De toute famille de fermés de E, dont l’intersection est vide, on peut extraire une sous famille finie d’intersection vide

Exemples:

1. E espace séparé, si E est fini, alors E est compact
2. E discret; E est compact ssi E st fini
3. Dans les espaces métriques, la notion de compacité généralise la notion de " finitude ". Un espace métrique compact est recouvert par un nombre fini de boules ouvertes
4. ú ⁿ, n ³ 1 n’est pas compact : l’ensemble des boules ouvertes de centre 0 recouvrent l’espace. Or, un nombre fini quelconque de ces boules est contenue dans une même boule de rayon fini et par suite ne recouvre pas l’espace tout entier.

Théorème :

Dans un espace compact, toute suite de points possède au moins une valeur d’adhérence. De plus si cette valeur d’adhérence est unique, alors la suite converge vers cette valeur.

Proposition de Lebesgue :

Soit E un espace métrique tel que toute suite infini (x_n) admette une sous suite convergente. Alors pour tout recouvrement ouvert (U_i)_{i Î I} de E, il existe un nombre r > 0 tel que toute boule ouverte de rayon r de E soit contenu dans au moins un U_i.

Théorème :

Un espace métrique est compact ssi toute suite admet une sous suite convergente.

III – Parties compactes d’un espace séparé :

Définition :

1°) On dit qu’une partie A d’un espace topologique séparé E est compacte si le sous espace topologique A est compacte.

2°) On dit que A est relativement compacte si est compact.

Proposition :

Soit A un sous espace d’un espace séparé. A compact équivaut à : pour toute famille d’ouverts de E recouvrant A, il existe une sous famille finie recouvrant A.

Théorème :

Dans un espace séparé, toute partie compacte est fermée.

Une partie d’un espace compact est fermée ssi elle est compacte.

Définition :

Soit A une partie non vide d’un espace métrique E le nombre est appelé le diamètre de A. A est dit borné si son diamètre est fini ó $ M > 0 tel que d(x,y) £ M , " x, y dans A

Proposition :

1°) Pour tout a, b réels, a < b, l’intervalle fermé [a,b] est compact

2°) Les sous espaces compacts de ú sont les parties fermées bornées de ú .

Proposition :

Soit E un espace métrique. Si A Ì E est relativement compact, alors A est borné.

Remarque :

ú n’est pas compact car non borné.

Dans ú , A relativement compact est équivalent à A borné.

Proposition :

Soient E un espace métrique et A Ì E ; on a l’équivalence :

1. compact
2. Toute suite de points de A admet une sous suite converge