Chapitre 2

Suites convergentes

Espaces separes

Valeurs d’adherence d’une suite

 

 

 

I – SUITES CONVERGENTES :

Définition :

Soient E un espace topologique, a Î E et (xn)n une suite de points de E.
On dit que la suite (x
n)n converge vers a si
" voisinage V de a, $ n0 Î ù tel que xn Î V dès que n ³ n0 et on écrit :

Pour un espace métrique E, cette définition se traduit par :
ó " e > 0 $ n0 Î ù tel que d(xn,a) £ e pour n ³ n0

Remarque :

Si l’espace topologique E est quelconque, une suite peut posséder plusieurs points limites, par exemple, si E est muni de la topologie grossière, tout point de E est limite de toute suite (xn). On peut affirmer que la limite d’une suite est unique que si on suppose que l’espace E est séparé.

 

II – ESPACES SEPARES :

Définition :

Un espace topologique E est séparé lorsque deux points distincts quelconque de E admettent deux voisinages disjoints i.e. a ¹ b $ Va et Vb voisinages de a et b respectivement avec VaÇ Vb = Æ .

Proposition :

Tout espace métrique est séparé.

Proposition :

Toute suite de points d’un espace séparé possède au plus une limite.

Proposition :

Si E espace métrique et A Ì E alors a Î équivaut à : il existe une suite (xn)n de points de A convergente vers a.
En particuliers A est fermé ssi la limite de toute suite de points de A est encore dans A.

 

III – VALEURS D’ADHERENCE D’UNE SUITE :

Définition :

Soit (xn)n une suite d’un espace topologique E et a Î E. On dit que a est valeur d’adhérence de cette suite si " voisinage V de a et " n Î ù , $ i ³ n avec xi Î V.

Remarque :

Si (xn)n converge vers a, a est évidemment valeur d’adhérence de (xn)n. Il importe de distinguer la notion de valeur d’adhérence d’une suite et de points adhérents à l’ensemble des points de cette suite : X = {xn} et An = {xi, i ³ n}. On a An Ì X d’où pour tout n ; a est valeur d’adhérence de la suite (xn) équivaut à a Î pour tout n. Donc l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite (xn) est . Il est possible d’avoir l’inclusion stricte.

Définition :

Une suite extraite d’une suite (xn) de points de E est une suite (yp) avec : yp = xj (p)j  : p Î ù ® j (p) Î ù est une application strictement croissante.

Par récurrence on peut montrer que j (n) ³ n ; n Î ù

Remarque :

Si (xn) converge vers a, toute sous-suite de (xn) converge également vers a.

Proposition :

Si E est un espace métrique, alors a est valeur d’adhérence d’une suite (xn) ssi il existe une suite extraite convergente vers a.

 


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