Chapitre 2
Suites convergentes
Espaces separes
Valeurs dadherence dune suite
I SUITES CONVERGENTES :
Définition :
Soient E un espace topologique, a Î E et
(xn)n
une suite de points de E.
On dit que la suite (xn)n
converge vers a si " voisinage V de a, $ n0
Î ù tel que xn Î V dès
que n ³ n0 et on écrit :
Pour un espace métrique E, cette définition
se traduit par :
ó " e > 0 $ n0 Î ù
tel que d(xn,a) £ e pour
n ³ n0
Remarque :
Si lespace topologique E est quelconque, une suite peut posséder plusieurs points limites, par exemple, si E est muni de la topologie grossière, tout point de E est limite de toute suite (xn). On peut affirmer que la limite dune suite est unique que si on suppose que lespace E est séparé.
II ESPACES SEPARES :
Définition :
Un espace topologique E est séparé lorsque deux points distincts quelconque de E admettent deux voisinages disjoints i.e. a ¹ b $ Va et Vb voisinages de a et b respectivement avec VaÇ Vb = Æ .
Proposition :
Tout espace métrique est séparé.
Proposition :
Toute suite de points dun espace séparé possède au plus une limite.
Proposition :
Si E espace métrique et A Ì E
alors a Î équivaut à : il existe une suite (xn)n
de points de A convergente vers a.
En particuliers A est fermé ssi la limite de toute suite de
points de A est encore dans A.
III VALEURS DADHERENCE DUNE SUITE :
Définition :
Soit (xn)n une suite dun espace topologique E et a Î E. On dit que a est valeur dadhérence de cette suite si " voisinage V de a et " n Î ù , $ i ³ n avec xi Î V.
Remarque :
Si (xn)n converge vers a, a est évidemment valeur dadhérence de (xn)n. Il importe de distinguer la notion de valeur dadhérence dune suite et de points adhérents à lensemble des points de cette suite : X = {xn} et An = {xi, i ³ n}. On a An Ì X doù pour tout n ; a est valeur dadhérence de la suite (xn) équivaut à a Î pour tout n. Donc lensemble des valeurs dadhérence de la suite (xn) est . Il est possible davoir linclusion stricte.
Définition :
Une suite extraite dune suite (xn) de points de E est une suite (yp) avec : yp = xj (p) où j : p Î ù ® j (p) Î ù est une application strictement croissante.
Par récurrence on peut montrer que j (n) ³ n ; n Î ù
Remarque :
Si (xn) converge vers a, toute sous-suite de (xn) converge également vers a.
Proposition :
Si E est un espace métrique, alors a est valeur dadhérence dune suite (xn) ssi il existe une suite extraite convergente vers a.