Chapitre 4

Chapitre 4
Zeros des fonctions holomorphes –
Points singuliers isoles

Partie A : Zéros des fonctions holomorphes

Etude au voisinage d’un zéro :

Soit F une fonction holomorphe dans un ouvert W. On rappelle q’un zéro de F est un élément z₀ de W tel que F(z₀) = 0.

Lemme : Soit z₀ un zéro d’une fonction holomorphe F. Les conditions suivantes sont équivalentes :

F(z) = 0 pour tous points d’un voisinage de z₀

" k ³ 0, F^(k)(z₀) = 0

Définition : Un zéro z₀ d’une fonction holomorphe f est appelé zéro isolé si z₀ ne vérifie pas les conditions (i) et (ii) du lemme précédent.

Proposition : Si z₀ est un zéro isolé, alors il existe un unique entier positif m tel que f(z) = (z – z₀)^mf₁(z) où f₁(z) est une fonction holomorphe dans W et f₁(z₀) ¹ 0.

Notion d’ordre de multiplicité :

L’entier m introduit dans la proposition précédente est appelé ordre de multiplicité du zéro z₀. Il est caractérisé par les conditions suivantes :

f^(k)(z₀) = 0 pour tout k < m et f^(k+1)(z₀) = f^(p)(z₀) ¹ 0

Ce sont ces conditions qui servent le plus souvent pour la détermination pratique de m.

Convention : Si f(z₀) ¹ 0, on dit quelquefois que z₀ est un " zéro d’ordre 0 " de f – Attention : ce n’est pas un zéro ! Ceci permet d’unifier certains énoncé.

Corollaire 1 : Soient f et g 2 fonctions holomorphes en z₀ alors ord_z0 (f.g) = ord_z0 (f) + ord_z0 (g).

Distribution des zéros d’une fonction holomorphe :

Corollaire 2 : (PRINCIPE DES ZEROS ISOLES) : Si z₀ est un zéro isolé de f, alors il existe un voisinage D de z₀ dans lequel f n’a pas d’autre zéro que z₀.

Lemme : (PRINCIPE DU PROLONGEMENT ANALYTIQUE – forme faible) : Soit f une fonction holomorphe dans un domaine W. Si f(z) = 0 pour tous z dans un disque ouvert inclus dans W alors f(z) = 0 " z Î W.

Théorème : Toute fonction holomorphe dans un domaine W qui a un zéro non isolé est nulle pour tous z Î W.

Définition : Soient W Ì ÷ un ouvert et X Ì W. Alors X est localement fini si X Ç K est fini pour tout sous – ensemble compact K Ì W.

Proposition : Soit f une fonction holomorphe, non identiquement nulle, définie dans un domaine W. Alors l’ensemble des zéros de f est localement fini.

Corollaire 1 : L’ensemble des zéros de f est discret dans W.

Corollaire 2 : L’ensemble des zéros de f est dénombrable.

Lemme : Soit (z_n)_n une suite injective de nombres complexes. On pose : Z = {z_n ; n Î ù}. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Z est localement fini dans ÷

Proposition : Si f est une fonction holomorphe non identiquement nulle dans un domaine W, l’ensemble des zéros de f est localement fini dans W.

Théorème de Weierstrass : Soit W un ouvert dans ÷ et Z une partie dénombrable et localement finie de W. A tout z Î Z on associe m(z) Î ù. Alors il existe une fonction holomorphe f, définie dans W et Z est l’ensemble des zéros de f et " z Î Z ord_Z f(z) = m(z).

Principe du prolongement analytique (forme forte) :

Proposition : Soient f et g 2 fonctions holomorphes dans un domaine D. Supposons que {z Î D ; f(z) = g(z)} contient un compact infini. Alors f º g sur D.

Il n’est pas dit que l’ensemble des points d’agrément entre f et g est un compact infini mais contient un compact infini.

Théorème : (PRINCIPE DE SYMETRIE) : Soit D un domaine symétrique par rapport à l’axe réel. Supposons que D É [x₀ , x₁] (où x₀ < x₁) et f est holomorphe dans D. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

" z Î D ,

" x Î [x₀ , x₁] , f(x) Î ú

Principe du maximum :

Théorème : Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert W. Si |f| a un maximum local en a Î W alors f est constant dans un voisinage de a. En particulier, si W est un domaine alors f est constante.

Corollaire : Soit f une fonction holomorphe dans un domaine borné D et f continue sur l’adhérence`D. Alors, soit |f| admet un maximum sur la frontière ¶D, soit f est constante (s’il est atteint dans D).

Partie B : Points singuliers isolés

Points singuliers isolés :

Définition : Soit f une fonction holomorphe en tout point d’un certain ouvert W, sauf peut être en un point a Î W. On a 3 cas possibles :

a est une fausse singularité si f est bornée dans un voisinage de a.

a est un pôle si f n’est pas bornée dans un voisinage de a mais

a est une singularité essentielle si f n’est pas bornée dans un voisinage de a et la limite n’existe pas

Notion de résidus :

Lemme du disque pointé : Soit D un disque pointé défini par les conditions : 0 < |z – a₀| < r. Soient g₁ et g₂ deux circuits circulaires de rayons r₁ et r₂ : 0 < r₁ < r₂ < r qu’on suppose parcourus une fois dans le sens direct. Pour toute fonction f holomorphe dans D on a l’égalité :

On applique souvent le résultat précédent sous une forme légèrement différente :

Lemme : Avec les notations du lemme du disque pointé, on a pour tout z vérifiant r₁ < |z – a₀| < r₂ l’égalité suivante :

Définition du Résidu : où g_i(t) = a + re^it (0 £ t £ 2p)

Proposition : Soit f une fonction holomorphe sur D = {z ; 0 < |z – a| < r}. Supposons que a soit une fausse singularité, alors Res(f,a) = 0.

REMARQUES :

Le cas précédent contient notamment celui où a₀ serait en fait un point d’holomorphie de f.

Le résidu peut être nul même si a est une vrai singularité : ainsi 1/z² a un pôle en z=0, en lequel le résidu est nul puisque 1/z² a une primitive dans ÷*.

Elimination des fausses singularités :

Proposition : Si f présente une fausse singularité en a alors f est prolongeable par continuité en a et la fonction prolongée est holomorphe en a.

Ainsi une fausse singularité n’est qu’un point d’holomorphie cachée, ou non prise en compte pour une raison ou une autre.

Notion générale de point singulier :

Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert W et soit a un point de la frontière de W. Deux cas peuvent se présenter :

Il existe un disque ouvert D de centre a et une fonction f₁ holomorphe dans D tels que f et f₁ coïncident sur DÇW. On dit alors que a est régulier.

Sinon, on dit que a est singulier.

Cela étant , un point singulier isolé n’est autre qu’un point isolé de l’ensemble des points singuliers de f.

Exemple : Pour la détermination principale du logarithme, tous les points de la coupure de ú^– sont singuliers et non isolés. Zéro est singulier pour toute détermination (ou branche) du logarithme : on l’appelle un point de branchement.

Etude au voisinage d’un pôle :

Soient f une fonction holomorphe dans un ouvert W, sauf en un point a qui est un pôle de f.

Soit D = {z ; 0 < |z – a| < r} un disque pointé dans lequel f est holomorphe et f(z) ¹ 0 " z Î D. 1/f est alors holomorphe dans D et vérifie :

Alors a est une fausse singularité pour g donc g se prolonge par continuité en a en posant g(a) = 0. Ainsi g est holomorphe sur D_(a,r[. a est un zéro isolé pour g (car g ne s’annule pas dans D). g se met alors sous la forme suivante : g(z) = (z – a)^r g₁(z) où l’entier positif r est l’ordre de multiplicité du pôle a, g₁ est holomorphe en a et g₁(a) ¹ 0.

D’où f(z) = f₁(z) / (z – a)^r , comme f₁ = 1/g₁ alors f₁ est holomorphe et f₁(a) ¹ 0.

f peut se décomposer en une série de Laurent :

Pour tout z Î D, La fonction rationnelle définie par avec a_–r ¹ 0 s’appelle la partie singulière de f en a.

CALCUL DE RESIDUS :

(A). Pôles Simples : Dans la décomposition de Laurent, si f est une fonction holomorphe qui présente en a un pôle simple, alors Res(f,a) = a_–1. On peut dire aussi que f se met sous la forme : où f₁est holomorphe en a. On a alors l’expression suivante : .

Supposons d’autre part que si f s’écrit sous la forme d’un quotient : f = g/h où g, h sont holomorphes, g(a) ¹ 0, h(a) = 0 et h¢(a) ¹ 0.

(B). Pôles Multiples : On suppose que f présente en a un pôle multiple d’ordre r > 1. f(z) s’écrit sous la forme : f(z) = f₁(z) / (z – a)^r où f₁(a) ¹ 0. On a alors la formule du résidu :

Etude au voisinage d’une singularité essentielle :

Le comportement d’une fonction holomorphe au voisinage d’un point singulier essentiel est extrêmement " chaotique ".

Théorème de Weierstrass : Si une fonction holomorphe f présente en un point a une singularité essentielle alors l’image par f de tout voisinage strict de a est partout dense dans ÷.

Théorème de Picart : Si une fonction holomorphe f présente en un point a une singularité essentielle, alors l’image par f de tout voisinage strict de a se compose de ÷ - {a}. De plus chaque valeur atteinte l’est une infinité de fois.

Partie singulière :

Définition : Soit f une fonction holomorphe sur D = {z Î ÷ ; 0 < |z – a| < r} où a est une singularité essentielle pour f. La partie singulière de f est une fonction R(z) sur ÷ avec les propriétés suivantes :

R est holomorphe pour tout z ¹ a

(f – R)(z) a une fausse singularité en a

Cette partie singulière existe toujours et elle est unique.

Proposition : Soit f une fonction holomorphe qui présente une singularité isolé en a. Soit R(z) la partie singulière de f en a. Alors où la série converge normalement sur toute couronne {t ; |t – a| ³ r > 0}. En plus a est un pôle ssi $ N > 0 tel que a_–n = 0 " n ³ N.

Corollaire : Res(f,a) = a_-1 pour a : singularité essentielle de f