Chapitre 9

ContinuitE Uniforme 

Définition :

On dit qu’une application f d’un espace métrique E dans un espace métrique F est uniformément continue si " e > 0 $ h (e ) > 0 tel que d(x,y) £ h (e ) Þ d(f(x),f(y)) £ e .

La différence entre la continuité et l’uniforme continuité se traduit par :

• La continuité de f s’exprime par la continuité en chaque point i.e.
  " x Î E, " e > 0 $ h (x,e ) > 0 , d(x,y) £ h Þ d(f(x),f(y)) £ e

• L’uniforme continuité : " e > 0 $ h (e ) > 0 , d(x,y) £ h Þ d(f(x),f(y)) £ e

Il est classique que toute application continue uniformément est continue.

Exemples :

1. Si A Ì E, l’application x Î E ® d(x,A) est uniformément continue car : |d(x,A) – d(y,A)| £ d(x,y)
2. On dit qu’une application f d’un espace métrique E dans un espace métrique F vérifie une condition de Lipschitz ou qu’elle est lipschitzienne s’il existe une constante k telle que quels que soient x, y dans E, on ait d(f(x),f(y)) £ k d(x,y). Toute application lipschitzienne est uniformément continue.
3. Si f est une fonction numérique dérivable sur un intervalle I de ú et si |f¢ | £ k, alors f est uniformément continue.
4. L’application x Î ú ® x² Î ú ⁺ est continue mais non uniformément continue.

Théorème de Heine :

Toute application continue d’un espace métrique compact E dans un espace métrique F est uniformément continue.

Proposition :

Soient E et F deux espaces métriques et f une application uniformément continue de E dans F. Alors l’image par f de toute suite de Cauchy de E est une suite de Cauchy de F.

Proposition :

Pour que le produit de 2 espaces métriques soit complet, il faut et il suffit que chacun des facteurs le soit.