Chapitre 8

Suites de Cauchy

Espaces complets

I – Suites de Cauchy

Définition :

Soient E un espace métrique et (x_n) une suite de points de E. On dit que cette suite est de Cauchy si :

" e > 0, $ n₀ Î ù  ; " p, q ³ n₀ Þ d(x_p, x_q) £ e

Définition équivalente :

Soient A_n = {x_p, p ³ n} et d (A_n) = Sup d(x_p, x_q) pour p, q ³ n

(x_n) est de Cauchy ó lim d (A_n) = 0

Remarque :

1. Toute suite extraite d’une suite de Cauchy est une suite de Cauchy
2. Toute suite convergente est une suite de Cauchy
3. Toute suite de Cauchy est une suite bornée

Proposition :

Si (x_n) est une suite de Cauchy, toute valeur d’adhérence de (x_n) est une limite de (x_n).

Remarque :

La notion de suite de Cauchy, n’est pas une notion topologique : car la suite (1/n) est une suite de Cauchy alors que son image par l’application continue : x ® 1/x est la suite (n) qui ne l’est pas.

II – Espaces complets :

Définition :

Soit E un espace métrique, E est complet si toute suite de Cauchy est une suite convergente ; on a dans ce cas identité entre suites convergentes et suites de Cauchy.

Exemple :

Tout espace métrique dont les boules fermées sont compactes est complet ; en particuliers ú ⁿ est complet.

Proposition :

1. Dans un espace métrique E, tout sous espace complet est fermé
2. Dans un espace métrique complet, tout sous espace fermé est complet.

Théorème :

Soit E un espace métrique. On a l’équivalence entre :

1. E est compact
2. E complet et " e > 0, $ un recouvrement fini de E par des boules ouvertes de rayon e .

Théorème :

Soit E un espace métrique complet et A Ì E, on a l’équivalence :

1. est compact
2. " e > 0, on peut recouvrir A par un nombre fini de boules ouvertes de centre dans A et de rayon e