Chapitre 3

 

Applications continues

 

 

 

I – Définitions :

Définition :

Soient E et F 2 espaces topologiques et f : E ® F une application. On dit que :

1°) f est continue en x0 Î E si pour tout voisinage V de f(x0) dans F, il existe un voisinage U de x0 dans E tel que f(U) Ì V

2°) f est continue dans E si f est continue en tout point de E.

Lorsque E et F sont des espaces métriques, f continue en x0 se traduit par :

" e > 0, $ h > 0 tel que d(x,x0) £ h Þ d(f(x),f(x0)) £ e

Remarque :

L’ensemble des voisinages de a est noté : V(a)

f continue en x0 Î E ó " voisinage V de f(x0) dans F, f-1(V) est voisinage de x0 dans E. En effet, f continue en x0 Þ " V Î V(f(x0)), $ U Î V(x0) dans E tel que f(U) Ì V Þ f-1 · f(U) Ì f-1(V). Comme U Ì f-1f(U), on a : U Ì f-1(V) Þ f-1(V) est un voisinage de x0 dans E.

Théorème :

Pour une application f : E ® F d’un espace topologique E dans un espace topologique F, les propriétés suivantes dont équivalentes :

1°) f continue dans E

2°) " partie A Ì E,

3°) l’image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E

4°) l’image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E

Exemples :

  1. L’application identique : E ® E est continue
  2. L’application constante : f : x Î E ® y0 Î F est continue
    Si O est un ouvert de F, f-1(O) =     Æ si y0 Ï O et E si y0 Î O
  3. Toute application d’un espace discret dans un espace topologique est continue
  4. Soit E espace métrique et A Ì E. On pose d(x,A) =

Alors l’application x Î E ® d(x,A) Î ú est continue, ceci résulte de : |d(x,A) – d(y,A)| £ d(x,y).

" z Î A, on a d(x,z) £ d(x,y) + d(y,z) d’où d(x,A) £ d(x,z) £ d(x,y) + d(y,z)

d(x,A) – d(x,y) £ d(y,z) " z Î A Þ d(x,A) – d(x,y) £ d(y,A) Þ d(x,A) – d(y,A) £ d(x,y)

Proposition :

Soient f : E ® F et g : F ® G où E, F, G sont trois E..
Alors si f est continue au point x Î E et g continue au point f(x) Î F, alors g· f est continue en x. En particulier, si f et g sont continues, alors g· f est aussi continue.

Proposition :

1°) Soient E et F des espaces topologiques et f : E ® F continue en a Î E. Alors " suite (xn) de E convergente vers a, la suite (f(xn))n de F converge vers f(a). En particuliers, si a est valeur d’adhérence d’une suite (xn) de E, f(a) est valeur d’adhérence de la suite f(xn).
2°) Si on suppose E espace métrique, on a l’équivalence f continue en a ssi " suite (xn) de E convergente vers a, la suite (f(xn))n de F converge vers f(a).

 

II – Principe de prolongement des identités et des inégalités :

Proposition :

Soient f et g 2 applications continues d’un E.T. E dans un E.T. séparé F. Alors l’ensemble A = {x Î E ; f(x) = g(x)} est fermé dans E. En particulier, si f(x) = g(x) en tous les points d’une partie S de E partout dense dans E alors f º g.

Proposition :

Soient f et g 2 fonctions réelles continues dans un espace métrique E. Alors l’ensemble A = {x Î E ; f(x) £ g(x)} est fermé dans E. En particulier, si f(x) £ g(x) en tous les points d’une partie S de E partout dense dans E alors f £ g dans E.

 

III – Homéomorphismes :

Définition :

  1. Soient E et F deux E.T. On appelle homéomorphisme de E sur F, toute bijection continue f de E sur F telle que la bijection réciproque f-1 de F sur E soit aussi continue.
  2. Deux E.T. E et F sont homéomorphes s’il existe un homéomorphisme de E sur F.

Un homéomorphisme est donc un isomorphisme de la topologie de E sur la topologie de F i.e. un isomorphisme de structures topologiques. Pour deux espaces homéomorphes, toutes propriétés topologiques vraies pour l’un sont aussi vraies pour l’autre.

Exemples :

Pour a Î ún et l Î ú*, l’application f : x Î ún ® a + l x Î ún est un homéomorphisme. En effet, f est continue et f est bijective : a + l x = y Þ x = -a + [1/l ]y. Donc f-1 existe et f-1: y Î ún ® -a + [1/l ]y Î ún est aussi continue. On a f(B(0,1)) = B(a,|l |) : si x Î B(0,1) i.e. ||x|| < 1, on a f(x) = y = a + l x d’où ||y – a|| = ||l x|| = |l | ||x|| < |l |. Il en résulte que toutes les boules ouvertes de ún sont homéomorphes à la boule unité B(0,1) = {x Î ún / ||x|| < 1}.

 

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