Chapitre 1

Espaces metriques

Espaces topologiques

I – Ensembles ouverts – Ensembles fermés dans un espace métrique :

Définition :

Soit E un ensemble, une distance sur E est une application d : E´ E ® ú ⁺ qui vérifie les axiomes suivants :

1. d(x,y) = 0 ó x = y
2. d(x,y) = d(y,x) (Symétrie)
3. d(x,z) £ d(x,y) + d(y,z) (Inégalité triangulaire ou de Minkowski) quels que soient x, y, z dans E

L’ensemble E muni d’une distance d est appelé espace métrique.

Exemples :

Sur ú ², on a par exemple les distances :

d₁(x,y) = |x₁ – y₁| + |x₂ – y₂|

d₂(x,y) = Ö [ (x₁ – y₁)² + (x₂ – y₂)² ]

d₃(x,y) = Sup ( |x₁ – y₁| , |x₂ – y₂| )

Notons que : d₃(x,y) £ d₂(x,y) £ d₁(x,y) £ 2 d₃(x,y)

Soit E un ensemble, posons d(x,y) = 1 si x ¹ y et d(x,x) = 0, d est une distance sur E. E muni de cette distance est appelé espace métrique discret.

Proposition : ou seconde inégalité triangulaire

Si d est une distance sur E alors |d(x,y) – d(y,z)| £ d(x,z), quelque soient x, y, z dans E

Définition :

Soient E un espace métrique, a Î E et r Î ú ⁺, on appelle :

1. une boule ouverte de centre a et de rayon r : l’ensemble B(a,r[ = B(a,r) = { x Î E ; d(x,a) < r }
2. une boule fermée de centre a et de rayon r : l’ensemble B(a,r] = B¢ (a,r) = { x Î E ; d(x,a) £ r }
3. une sphère de centre a et de rayon r : l’ensemble S(a,r) = {x Î E ; d(x,a) = r }

Remarque :

Si r > 0 on a a Î B(a,r) et B(a,r) Ì B¢ (a,r) et S(a,r) Ì B¢ (a,r)

Si r = 0 alors B(a,r) = Æ et B¢ (a,r) = S(a,r) = { a }

Définition :

Soient E un espace métrique et V une partie de E. On dit que V est un ouvert dans E ou une partie ouverte de E, si :

• soit V = Æ
• soit pour tout x Î V, il existe r > 0, tel que B(x,r[ Ì V

Proposition :

Dans un espace métrique E, toute boule ouverte est un ouvert de E.

Théorème :

Soit E un espace métrique,

1. les parties Æ et E de E sont ouvertes
2. toutes réunion quelconque d’ouverts de E est un ouvert dans E
3. toutes intersection finie d’ouverts de E est un ouvert dans E

Remarque :

Les ouverts d’un espace métrique discret E sont toutes les parties de E : en effet, " x Î E, on a {x} = B(x,r[ pour r < 1. Donc toute partie de E est une partie ouverte de E en vertu du théorème précèdent (2°).

Théorème :

Soient E un ensemble, d et d¢ 2 distances sur E, on suppose qu’il existe 2 constantes c et c¢ > 0 telles que :

c.d(x,y) £ d¢ (x,y) £ c¢ .d(x,y) " x,y Î E

Alors les parties ouvertes de E sont les mêmes pour les distances d et d¢ .

Définition :

Soient E un espace métrique, B une partie de E.
On dit que B est un fermé de E (ou une partie fermée de E), si E \ B est ouvert dans E.

Proposition :

Dans un espace métrique, toute boule fermée est un fermé dans E.

Proposition :

Dans un espace métrique discret tout sous ensemble ou toute partie de E est fermée dans E.

Théorème :

Soit E un espace métrique :

1. les parties Æ et E de E sont fermées
2. toute intersection quelconque de fermés est un fermé dans E
3. toute réunion finie de fermés de E est fermée

Proposition :

Dans un espace métrique E, toute sphère est une partie fermée de E.

II – Espaces topologiques :

Définition :

On appelle espace topologique un ensemble E muni d’une famille q de parties de E appelées parties ouvertes de E vérifiant :

1. les parties Æ et E de E sont ouvertes dans E
2. toute réunion de parties ouvertes de E est ouverte dans E
3. toute intersection finies de parties ouvertes de E est une partie ouverte de E

Définition :

Soient E un espace topologique et A une partie de E.
On dit que A est fermée dans E si la partie E – A est ouverte.

Théorème :

Soit E un espace topologique.

1. les parties Æ et E de E sont fermées dans E
2. toute intersection de parties fermées est fermée dans E
3. toute réunion finie de fermés est fermée dans E

III – Voisinages :

Définition :

Soient E un espace topologique et x Î E. Une partie V de E est appelé voisinage de x dans E s’il existe une partie ouverte U de E telle que x Î U Ì V.

D’après cette définition, tout ouvert de E est un voisinage de chacun de ses points.

Proposition :

Pour qu’un ensemble soit un voisinage de chacun de ses points, il faut et il suffit qu’il soit ouvert.

Théorème :

Soient E un espace topologique et x Î E :

1. si V et V¢ sont des voisinages de x, VÇ V¢ est un voisinage de x
2. si V est un voisinage de x et si W vérifie V Ì W, W est un voisinage de x

Définition :

Soient E un espace topologique et x Î E. On appelle système fondamental de voisinage de x, toute famille (V_i)_{iÎ I} de voisinages de x, telle que tout voisinage de x contienne l’un des V_i.

IV – Intérieur – Adhérence :

Définition :

Soient E un espace topologique et A une partie de E.

1. x est intérieur à A ssi A est un voisinage de x. L’ensemble des points intérieurs à A s’appelle l’intérieur de A et se note .
2. x est adhérent à A si tout voisinage de x rencontre A. L’ensemble des points adhérents à A s’appelle l’adhérence de A et se note

Proposition :

1. est le plus grand ouvert contenu dans A. C’est donc la réunion de tous les ouverts contenu dans A. En particuliers les ouverts sont caractérisés par A =
2. est le plus petit fermé contenant A , c’est donc l’intersection de tous les fermés contenant A. En particuliers, les fermés sont caractérisés par A = .
3. et

Définition :

Dans un espace topologique E, un sous ensemble S est dense dans E si = E
ó E Ì
ó pour tout x de E et tout voisinage V de x : VÇ S ¹ Æ
ó pour tout x de E et tout ouvert O contenant x : OÇ S ¹ Æ .