Partie A = Le Théorème des Résidus (cas des ouverts étoilés)

1. Notions préliminaires :

Lemme 1 : Soit f une fonction holomorphe en tout point z Î W , où W est un ouvert, sauf sur un sous-ensemble S Ì W de points singuliers isolés. Alors S est localement fini dans W .

Lemme 2 : Soient f, S et W comme dans le lemme 1. Supposons que W soit un domaine étoilé. Soit l un circuit tracé dans W qui ne rencontre pas S. Alors {z Î S ; Ind(l ,z) ¹ 0} est fini.

Lemme de l’enclos étoilé : Dans un ouvert étoilé, tout compact possède un voisinage étoilé borné dont l’adhérence est incluse dans l’ouvert initial.

 

2. Théorème des résidus :

Théorème : Soit f une fonction complexe dans un domaine étoilé W . On suppose que f est holomorphe partout sauf aux points d’un ensemble S de singularités isolés. Soit l un circuit tracé dans W et ne rencontrant pas S. Alors :.

Le théorème des résidus est la forme la plus synthétique de la formule intégrale de Cauchy. Sa portée est limitée, dans la forme donnée ici, par l’hypothèse faite sur le domaine. Mais quelle que soit la version retenue, on a besoin soit d’une hypothèse sur le domaine, soit d’une hypothèse sur le circuit.

 

3. Dénombrement des zéros et des pôles :

[A] – Principe de l’argument :

Soient l un circuit tracé dans un domaine W et f une fonction holomorphe pour tout z Î Supp(l ) telle que f ne s’annule pas sur le support de l . Soit d le circuit défini par d = f · l . Alors d est un circuit qui ne contient pas 0 et : . Intuitivement, c’est le quotient par 2p de la variation de l’argument de f(z) le long de l .

[B] – Les dérivées logarithmiques :

Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert W , sauf peut-être en des points singuliers isolés. Rappelons que sa dérivée logarithmique est la fonction f¢ /f. Elle est définit et holomorphe en tout point où f est holomorphe et non nulle.

Si f admet un logarithme, i.e. f(z) = exp(g(z)) alors g¢ (z) = f¢ (z)/f(z). L’intérêt est que cette dérivée conserve la mémoire d’une telle transformation même quand elle n’est pas possible :

Si f = f₁f₂ alors : (f₁f₂)¢ /f₁f₂ = f₁¢ /f₁ + f₂¢ /f₂

Si f = h^k alors : f¢ /f = k.h¢ /h.

Un cas intéressant est celui où f possède en un point a un zéro ou un pôle.

f va s’écrire sous la forme : f(z) = (z – a)^k f₁(z) avec f₁ holomorphe en a et f₁(a) ¹ 0, l’entier k est positif pour un zéro et négatif pour un pôle. On a alors :. Comme f₁ et f₁¢ sont holomorphes en a avec f₁(a) ¹ 0, on voit que f¢ /f présente en a un pôle simple de résidu k. Ce résidu contient des informations importantes :

si k > 0, a est un zéro de f

si k < 0, a est un pôle de f

 

4. Fonctions méromorphes :

Définition : Une fonction f est dite méromorphe dans un ouvert W si f est holomorphe " z Î W sauf sur un sous-ensemble S Ì W de pôles pour f.

Propriétés :

1. f méromorphe Þ f¢ méromorphe
2. f, g Î M(W ) Þ f ± g , fg , l f Î M(W )
3. Soit W un domaine, P l’ensemble des pôles de f Þ P est localement fini (lemme 1). Soit D = W - P, f est holomorphe sur D , D est un domaine. L’ensemble des zéros de f est localement fini. Si f ¹ 0 Þ f^-1 Î M(W ). Si W est un domaine alors M(W ) est un corps.
4. Le principe de prolongement analytique s’applique aux fonctions méromorphes (i.e. f = g sur un compact infini dans un domaine Þ f = g dans ce domaine).

Soit f une fonction méromorphe dans un domaine étoilé D . Notons Z l’ensemble de ses zéros et P l’ensemble de ses pôles. Pour chaque pôle ou zéro a de F, on note m(a) son ordre de multiplicité. Enfin, soit l un circuit dans D qui évite tout élément de Z et de P. On a l’égalité :



Cette formule est appelé théorème de l’argument.

Définition : Si l est un circuit dans W , aÎ W est extérieur [resp. intérieur] si Ind(l ,a) = 0 [resp. Ind(l ,a) = 1].

Théorème de Rouché : Soit D un domaine étoilé, l un circuit dans D tel que " z Ï Supp(l ), Ind(l ,z) = 0 ou 1. Soient f et g fonctions holomorphes dans D tels que |g(z)| < |f(z)| " z Î Supp(l ). Alors f et f+g ont le même nombre de zéros à l’intérieur de l , chacun étant compté avec sa multiplicité.

Théorème de l’image ouverte : Soient f une fonction holomorphe non constante sur un domaine D , z₀ Î D , w₀ = f(z₀). Notons par m l’ordre du zéro z₀ de la fonction f(z) – w₀. Alors $ r > 0 et s > 0 tels que :

1. w, |w – w₀| < s, l’équation f(z) = w a exactement m solutions dans le disque |z – z₀| < r
2. si w ¹ w₀ alors tous les zéros de f(z) – w sont distincts.

Corollaire : L’image par une fonction non constante d’un domaine est un domaine.

 

 

1. Intégrales du premier type :

où R(X,Y) est une fonction rationnelle en X et Y, dont le dénominateur ne s’annule pas sur le cercle unité X² + Y² =1.

METHODE :

On regarde le couple (cos t, sin t) comme une représentation paramétrique du cercle unité C sur l’intervalle [0,2p ]. Passant à la notation complexe z = e^it on obtient l’égalité suivante :



La fonction à intégrer, soit f(z), est une fonction rationnelle qui n’a pas de pôle sur le cercle unité. Notons z_k pour k = 1... n les pôles de f intérieurs à C. La formule des résidus mène à l’égalité :



2. Intégrales du second type :

où R(z) est une fonction rationnelle qui vérifie les 2 conditions suivantes :

(1) elle n’a pas de pôle réel

(2)

La première condition est indispensable pour que R(x) existe pour tout x réel. La deuxième revient à dire que R(z) se met sous la forme R(z) = A(z) / B(z) où A et B sont des polynômes tels que deg(B) ³ deg(A) + 2. Cette condition assure notamment la convergence absolue de l’intégrale, par comparaison à la fonction 1/x².

METHODE :

Etant donné un nombre réel r positif, introduisons le contour G _r représenté ci-dessous :



On supposera r assez grand pour que tous les pôles de R(z) situés au-dessus de l’axe réel soient à l’intérieur de G _r. Posons . On a par le théorème des résidus : où z_k sont les pôles enfermés par G _r. Le contour G _r se compose du segment [-r, +r] et d’un demi-cercle g _r en sorte qu’on a aussi :. On a .

Il résulte du lemme ci-dessous qu’on a aussi .

Finalement on a la solution :

Lemme : Soit S un secteur angulaire fermé déterminé par les conditions : q ₁ £ Arg z £ q ₂. Soit f une fonction complexe continue en tout point de S de module assez grand. On suppose que zf(z) tend vers zéro quand z tend vers l’infini en restant dans S. Pour tout r > 0 on introduit l’arc g défini par : g (q ) = reⁱq (q ₁ £ q £ q ₂). Alors tend vers zéro quand r tend vers + ¥ .

3. Intégrales du troisième type :

où R(z) est une fonction rationnelle vérifiant les conditions suivantes :

(1) elle n’a pas de pôle réel

(2)

Posons R(z) = A(z)/B(z). Si deg(B) ³ deg(A) + 2, on retrouve le cas déjà étudié. Sinon on a seulement deg(B) = deg(A) + 1 et R se met sous la forme : R(z) = a/z + S(z) où lim_z® ¥ zS(z) = 0.

METHODE :

C’est essentiellement la même que celle du second type, le calcul de résidus étant bien entendu relatif à la fonction R(z)e^iz. Le seul point nouveau est que le lemme ne s’applique plus. Mais il admet une généralisation donnant le même résultat, connue sous le nom de " lemme de Jordan " :

Lemme de Jordan : Soit f(z) une fonction complexe continue sur le demi-plan fermé Im(z) ³ 0. Si lim_z® ¥ f(z) = 0, l’intégrale de f(z)e^iz sur le demi-cercle supérieur de centre 0 et de rayon r tend vers zéro quand r tend vers +¥ .

4. Intégrales du quatrième type :

où a est un nombre réel vérifiant 0 < a < 1 et R(z) une fonction rationnelle qui vérifie les conditions suivantes :

(1) R n’a pas de pôle réel positif ou nul

(2)

L’intégrale est absolument convergente en 0 (comparaison à 1/xa ) et en +¥ (comparaison à 1/xa ^+p, avec p entier ³ 1).

METHODE :

On introduit le plan fendu P défini par : P = ÷ - ú ⁺. Dans P on appelle log la détermination du logarithme obtenue en choisissant l’argument dans ]0,2p [. On pose alors pour z Î P : za = exp (a log z). La fonction log coïncide dans le demi-plan supérieur Im(z) > 0 avec la détermination principale. On a donc pour tout x > 0 : .

On a par contre : . Soit G (r,e ) le circuit représenté ci-dessous. On va donner un sens à l’expression bien que les 2 segments opposés ne soient pas inclus dans P.



On conviendra pour cela qu’on intègre quand on va de e à r et quand on va de r à e . Pour justifier cette convention considérons le circuit ci-dessous D (r,e ,q ) :



D (r,e ,q ) est cette fois tracé dans P, et on a exactement : .

Représentons pour cela une partie de la figure précédente :



Le trapèze mixtiligne représenté ci-dessus est inclus dans le demi-plan Re(z) > 0. Dans ce demi-plan, la détermination principale du logarithme coïncide avec la fonction log pour Im(z) > 0. Ainsi la restriction de za au premier quadrant admet un prolongement holomorphe dans le demi-plan Re(z) > 0. On peut alors faire appel au théorème de Goursat pour établir l’égalité suivante :



Un raisonnement analogue s’applique à la figure symétrique :



Compte tenu du changement d’argument, c’est la détermination principale du logarithme augmentée de 2ip qui fournit cette fois le prolongement requis. D’où l’égalité :



Posons f(z) = R(z) / za pour z Î P, et appelons z₁,…,z_n les pôles de R(z). Pour r assez grand et e assez petit, les z_k (k = 1..n) sont tous à l’intérieur de G (r,e ). Si on choisit de plus q assez petit, ils sont aussi à l’intérieur de D (r,e ,q ). Or dans ce cas on peut appliquer la formule des résidus car on est dans P : . Ainsi on peut appliquer la formule des résidus à G (r,e ). Pour achever le calcul il suffit d’établir les propriétés :



On obtient alors pour finir : .