Chapitre 3

Formule Integrale de Cauchy

 

 

  1. Théorème de Goursat :

    2. Définition : Soit D un domaine. On dit que D est étoilé s’il possède la propriété suivante :

    $ z0 Î D tel que [z0 , z]Ì D " z Î D. Le point z0 est le centre du domaine étoilé.

    Théorème de Goursat : Toute fonction holomorphe dans un domaine étoilé y admet des primitives.

    Autre Enoncé : Si f est une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé W , on a pour tout circuit l tracé dans W .

    Ce théorème trouve une application intéressante dans la démonstration du théorème de D’Alembert (appelé aussi : théorème fondamental de l’algèbre, théorème de Gauss) dont un énoncé sera donné à la fin de ce chapitre.

    Lemme : Soit D un domaine étoilé et f une fonction continue dans D. Alors f admet des primitives dans D ssi pour chaque triangle T Ì D.

     

  2. Formule intégrale de Cauchy pour un disque :

    3. Théorème : Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert D(z0, R[ où 0 < R £ +¥ . Soit 0 < r < R et g r(t) = z0 + reit, 0 £ t £ 2p . Alors pour " a Î D(z0, r[, on a l’égalité :

    Corollaires :

     

  3. Analyticité des fonctions holomorphes :

    4. Théorème : Toute fonction holomorphe dans un ouvert W est analytique dans W . En particulier, la dérivée d’une fonction holomorphe est holomorphe.

    On a donc l’équivalence entre analyticité et holomorphie. On pourra donc confondre les deux notions. Mais il faudra bien se souvenir de la définition de chacune d’elles :

    RAPPEL :

    F est analytique ssi " z0 Î U Ì ÷ , $ V (voisinage de z0) Ì U tel que, F|V soit Développable en Série Entière.

    F est holomorphe ssi " z0 Î U, existe et F¢ est continue.

    Corollaire 1 : Rappelons l’expression des dérivées successives de F dans le disque |z – a| < r :

    Considérons la série de Taylor de F au point a. Son rayon de convergence est supérieur où égal à r. En faisant tendre r vers R, on voit qu’il est supérieur ou égal à R. On en déduit l’énoncé suivant :

    Corollaire 2 : Si une fonction F est holomorphe dans un disque ouvert D, sa série de Taylor au centre de D converge absolument en tout point de D.

    En particulier, si F est une fonction entière, sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini.

     

  4. Formule intégrale de Cauchy pour un domaine étoilé :

    5. Théorème : Soit f une fonction holomorphe dans un domaine étoilé W . Soit l un circuit tracé dans W et a Î W - Supp(l ). Alors :

    Corollaire : Sous les mêmes hypothèses que le théorème précédent, on a l’expression intégrale des dérivées suivante :

     

  5. Théorème de D’Alembert – Théorème de Morera :

Théorème de Liouville : Toute fonction entière et bornée est constante.

Théorème de D’Alembert : Si f(z) est un polynôme à coefficients de degré > 0, alors f(z) a des zéros complexes.

Ce théorème peut être démontrer aussi par le théorème de Liouville.

Théorème de Morera : Toute fonction continue dans un ouvert W qui vérifie " g circuit tracé dans W , est holomorphe.

Ce dernier théorème est une sorte de réciproque du théorème de Goursat.



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