Chapitre 2

Chapitre 2 :
Integrales Curvilignes – Primitives de Fonctions Complexes

A] INTEGRATION COMPLEXE

I) Première Approche :

Soit [a,b] Ì ú . Subdivisons cet intervalle en n parties : a = t₀ < t₁ < t₂ < … < t_n-1 < t_n = b.

Soit g : [a,b] ® ÷ une application continue et soit . On suppose que g _i est dérivable. Alors g s’appelle un chemin différentiable par morceaux. z₀ = g (a) [resp. z₁ = g (b)] est l’origine [resp. l’extrémité] de g . g est un circuit si z₀ = z₁. Notons par g ˘ (t) la dérivée de g . g ˘ est une application de [a,b] – {t₁,t₂,…,t_n-1} ® ÷ .

II) Opérations sur les chemins :

Chemin opposé :

Soit g un chemin. On a -g (t) = g (b+a-t). -g est le chemin opposé à g .

Concaténation de chemin :

Soient g : [a,b] ® ÷ et d : [c,d] ® ÷ . Si b = c et g (b) = d (c), on définit g + d : [a,d] ® ÷ .

Remarque : g + d |_[a,b] = g et g + d |_[b,d] = d

III) Longueur d’un chemin :

Etant donné un arc g : [t₀,t₁] ® ÷ , à toute subdivision t₀ = x₀ < x₁ < … < x_n = t₁ on peut associer la ligne polygonale de sommets : z_k = g (x_k) (k = 0,…,n). Sa longueur est la somme : |z₀ – z₁| + |z₁ – z₂| + … + |z_n-1 – z_n|. La borne supérieure L de tous les nombres ainsi obtenus est par définition la longueur de g . On dit que g est rectifiable si L < +Ą .

Proposition : Soit g un chemin défini sur l’intervalle [t₀, t₁]. g est rectifiable, et sa longueur est donnée par la formule :.

Si on adopte un point de vue cinématique, L(g ) totalise la distance parcourue entre les " instants " t₀ et t₁. Les retours en arrière éventuels sont comptés positivement. L(g ) peut donc être supérieur à la longueur géométrique du support.

IV) Intégration le long d’un chemin :

Définition : Soit g : [a,b] ® ÷ un chemin et F une fonction continue définie sur le support de g . Alors :

On définit le support de g par : supp(g ) = {g (t) ; t Î [a,b]}
V) Propriétés de l’intégrale curviligne :

Ce sont les mêmes que dans le cas réel :

Changements de paramètre :

Soit g : [a,b] ® ÷ un chemin. Soit encore, j : [c,d] ® [a,b] une application surjective de classe C¹ . Considérons d = g · j . Alors : .

VI) Expression intégrale de fonctions analytiques :

Théorème de passage à la limite : Soit g un chemin et F_n une suite de fonctions complexes continues sur Supp(g ). Supposons que {F_n} converge uniformément vers une fonction F sur Supp(g ). Alors :

Les théorèmes de convergence de Lebesgue sont évidemment applicables à l’expression explicite de l’intégrale sur un chemin.

Théorème : Soient g un chemin et j une fonction continue sur Supp(g ). Alors l’expression : M définit une fonction F analytique dans le complémentaire W du Supp(g ). De plus, on a pour tout z Î W :

Corollaire : Le rayon de convergence de M est supérieur ou égal à la distance entre t₀ et Supp(g ) i.e. inf |u-t₀| où u Î Supp(g ).

La démonstration du théorème précédent donne un renseignement complémentaire : la série de Taylor en t₀ de la fonction F converge pour tout u vérifiant |u-t₀| Ł r (où r est tel que D(t₀,r] ne rencontre pas g ). Ainsi nous obtenons le corollaire écrit ci dessus.

B] PRIMITIVES DE FONCTIONS HOLOMORPHES

Définition : Soit f une fonction complexe définie dans un ouvert W Ì ÷ . On appelle primitive de f dans W toute fonction F, définie et holomorphe dans W , telle que F˘ = f.

Remarque : Si F est une primitive, alors F + c est aussi une primitive de f " c Î ÷ .

I) Primitives et intégration :

Théorème : Soient f une fonction complexe continue dans un ouvert W Ì ÷ et F une primitive de f. Soit g un chemin tracé dans W d’origine z₀ et d’extrémité z₁. Alors :

Corollaire : Si g est un circuit alors .

II) Primitives dans un domaine :

Définition : On appelle domaine un ouvert W Ì ÷ tel que z₀ , z₁ Î W puissent toujours être liés par un chemin tracé dans W (i.e. un domaine = un ouvert connexe par arcs différentiables par morceaux).

Corollaire : Soient W un domaine et f une fonction holomorphe sur W telle que f˘ (z) = 0 " z Î W . Alors f = const.

Corollaire : Si f est une fonction complexe continue dans un domaine W , 2 primitives de f dans D diffèrent d’une constante.

Théorème : Soient W un domaine et f une fonction complexe continue dans W . Alors f a des primitives dans W ó pour tout circuit g tracé dans W .

III) Notion d’indice :

Définition : Soit g un circuit, W = ÷ - Supp(g ), a Î W . Alors s’appelle indice de g par rapport à a .

Propriétés de l’indice :

On considère l’indice d’un lacet l par rapport à un point a. On note W le complémentaire du support de l .

Ind(l ,a) est constant quand a décrit un domaine inclus dans W .

Ind(l ,a) est constant sur tout chemin qui ne rencontre pas l .

Ind(l ,a) est un entier relatif.

Proposition : Soient g un circuit et S Ì ÷ un sous – ensemble connexe (par arcs) tel que S Ç Supp(g ) = Æ . Alors Ind(g ,x)|_S = const. En plus, Ind(g ,x)|_S = 0 si S n’est pas borné (i.e. $ z_i Î S tel que |z_i| ® Ą , i ® Ą ).

Proposition : Soit W Ì ÷ , un domaine qui ne contient pas 0. Alors pour qu’il existe une détermination du logarithme sur W , il faut et il suffit que Ind(l ,0) = 0 pour tout circuit l tracé dans W .