Chapitre 1 :

Holomorphie – Conditions de Cauchy – Series entieres – Logarithmes complexes

 

 

  

j Définition et Notation :

On appelle nombre complexe z, un ensemble ordonné de 2 nombres réels x & y : z = x + i y.

Dans un repère orthonormé, on considère le point M de coordonnées (x,y). A un nombre z correspond un point M bien déterminé et réciproquement. On dit que M est l’image de z ou que z a pour affixe M. On peut associer aussi au nombre z le vecteur .

  est l’argument de z défini à 2kp près. La longueur de = module de z : ˝ z˝ = OM = r ł 0.

x = r cos q et y = r sin q , formules qui permettent de déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe donné par son module et son argument.

z = x + i y = r [ cos q + i sin q ]

r = Ö ( x˛ + y˛ ) & tg q = y / x

L’argument d’un nombre positif est nul (+2kp ) ; l’argument d’un nombre négatif est égal à p (+2kp ).

L’argument d’un nombre imaginaire pur est p /2 ou 3p /2 (+2kp ) suivant qu’il soit positif ou négatif.

On peut rappeler aussi que ÷ est un ÷ – espace vectoriel de dimension 1 et un ú – espace vectoriel de dimension 2 dont une base est {1,i}.

 

 

k Opérations sur les Nombres Complexes :

Remarquons d’abord que la définition des nombres complexes conduit à considérer comme égaux des nombres qui ont même partie imaginaire et même partie réelle.

On appelle somme de 2 complexes, le nombre complexe dont la partie réelle est la somme des parties réelles et la partie imaginaire la somme des parties imaginaires des 2 nombres donnés. L’addition est associative et commutative, elle admet le nombre 0 pour élément neutre. On peut donc associer à tout nombre z un élément symétrique appelé opposé de z. (÷ ,+) est un groupe abélien.

On appelle produit de 2 complexes, le nombre complexe dont le module est le produit des modules et l’argument la somme des arguments des nombres donnés. La multiplication est associative et commutative, elle admet le nombre 1 pour élément neutre. On peut associer à tout nombre z non nul un élément symétrique appelé inverse de z. Ce nombre, dont le module est 1/r et l’argument - q , est noté z–1. La multiplication est distributive par rapport à l’addition. (÷ ,+,´ ) est un anneau abélien.

On appelle imaginaires conjugués des nombres qui ont même partie réelle et des parties imaginaires opposées. De tels nombres ont une somme et un produit réels.

 

 

l Rappel de Notions Elémentaires (dans le corps des complexes) :

Définition : F est dérivable en 1 point a Î W Ì ÷ ó lim z® a existe. Cette limite s’appelle dérivée de F en a et elle est notée F’(a) ou (dF/dz)(a).

Définition : F est holomorphe en aÎ ÷ si elle dérivable en tt point d’un voisinage de a. F est holomorphe dans W si elle est holomorphe en tt z Î W .Une fonction holomorphe dans ÷ est dite " entière ".

Notons que l’ensemble des fonctions holomorphes définit une algèbre de fonctions.

Propriété 1 :

Ś F est dérivable en a Þ F est continue en a.

Ť ( F + G )’ = F’ + G’ { hypothèse : F et G sont dérivables }

( l F )’ = l F’

( FG )’ = F’G + FG’

  { hypothèse : G(a) ą 0 }

( Fn )’ = n Fn-1 F’

( F · G )’(a) = F’(G(a)) G’(a) { hypothèses : G dérivable en a ; F dérivable en G(a) }

 

Définition : F est antiholomorphe en a Î W ó ` F est holomorphe en a.

 

 

m Applications Linéaires de ÷ ® ÷  :

Soit j  : ÷ ® ÷ une application ú - linéaire. On pose a = j (1) et b = j (i) ; dx(u + iv) = u et dy(u + iv) = v.

z = u + iv ; { u, v Î ú } ; dx : ÷ ® ú  ; dy : ÷ ® ú .

j (z) = j (u + iv) = ua + vb j = a dx + b dy

Si j  : ÷ ® ÷ une application linéaire sur ÷  on a : j = a dz où dz : ÷ ® ÷ , en particuliers j (i) = i j (1).

Il faudra se souvenir que : j  : ÷ - linéaire Þ j  : ú - linéaire.

Lemme 1: Une application ú - linéaire est ÷ - linéaire ó b = a i.

Lemme 2 : j est ú - linéaire (j ą 0). Alors j est ÷ - linéaire ó j conserve les angles orientés entre les nombres complexes.

 

 

n Définition d’une Fonction de la Variable Complexe :

  1. Définition directe :

    2. Soit z une variable complexe. Supposons qu’on puisse faire correspondre à toute valeur de z choisie dans un domaine convenable un nombre Z bien déterminé. On dit alors que Z est fonction de z et l’on écrit :

    Z = f(z) 

  2. Fonction complexe de 2 variables réelles :

    3. Posons Z = X + i Y et z = x + i y.

    X et Y sont fonctions de x et y, de sorte qu’on pourra, théoriquement tout au moins, mettre Z sous la forme : Z = P(x,y) + i Q(x,y). P et Q étant des fonctions réelles des 2 variables réelles x et y.

  3. Définition par une série entière :

Considérons la série de terme général : un = an + i bn. Pour que cette série soit convergente, il faut et il suffit que les séries de termes généraux an et bn soient convergentes. Si A et B sont les sommes de ces séries, la série de terme général un aura pour somme A + i B. Associons à la série un la série des modules de terme général : ˝ un˝ = r n = Ö ( an˛ + bn˛ ). Si la série des modules est convergente, les séries de termes généraux ˝ an˝ et ˝ bn˝ sont convergentes puisque ce sont des séries à termes positifs majorés par les termes d’une série convergente. Les séries de termes généraux an et bn sont alors convergentes puisque absolument convergentes. La série de terme général un est alors convergente. Elle est dite absolument convergente.

Considérons la série : dans laquelle A0,…,An sont des coefficients complexes. Désignons par M l’image du nombre z.

Lemme d’Abel :

Si une série entière de la variable complexe est convergente en un point M du plan, elle est convergente et absolument convergente en tout point intérieur au cercle de centre O et de rayon OM.

Si l’on pose en effet : ˝ An˝ = a n et˝ z˝ = r , on peut associer à la série proposée la série å an r n dite série des modules.

Pour tout point intérieur au cercle de convergence, la somme de la série å Anzn est une fonction Z de la variable z = x + i y.

Ainsi une série entière permet de définir une fonction de la variable complexe.

 

Les Séries Entières et l'Holomorphie:

Proposition 1 :

Soit une série entière et R son rayon de convergence. Alors :

(i) ˝ z˝ < R Þ la série converge absolument.

(ii) " r > 0, r < R, la série converge uniformément et donc absolument sur D(O,r].

(iii) Si ˝ z˝ > R alors ˝ anzn˝ ne tend pas vers 0 quand n ® Ą . En particuliers diverge.

 

Corollaire [de (ii)] : est une fonction continue sur D(O,r].

Proposition 2 :

Soit une série entière à coefficients complexes : (1) et la série dérivée : (2) . Alors les 2 séries ont le même rayon de convergence et à l’intérieur du disque de convergence la somme de la série (1) est une fonction holomorphe et sa dérivée est la somme de la série (2).

Définition :

Soit F une fonction complexe définie dans un ouvert W Ì ÷ et soit a Î W . On dit que F est analytique en a s’il existe r > 0 tel que D(a,r[ Ì W et il existe une série entière de rayon de convergence R ł r tel qu’on ait pour tt z Î D(a,r[ :

On dit que F est analytique si F est analytique en " z Î W .

Une fonction analytique est holomorphe. On verra plus tard dans le cours qu’il y a équivalence entre holomorphie et analyticité.

Proposition 3 :

Si F est analytique en a alors F est holomorphe en a. En particuliers, " fonction analytique est holomorphe :

Ce qui nous donne la série de Taylor avec la convention F(0) = F.

 

 

o Dérivation des Fonctions de la Variable Complexe :

Définition : F est différentiable en a Î W ssi (P,Q) : ú ˛ ® ú ˛ est différentiable en a.

Proposition 1 : Si F est dérivable en a alors F est différentiable en a et (dF)a est ÷ - linéaire.

Proposition 2 :

Soit F : W ® ÷ , fonction différentiable en a. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

    1. F est dérivable en a

    2. (dF)a est ÷ - linéaire

 

Corollaire : CONDITIONS DE CAUCHY

Ce sont les conditions de Cauchy en coordonnées cartésiennes. En coordonnées polaires, on a :

 

  1. Limites ~ Continuité :

    2. Soit z = x + i y la variable complexe et considérons la fonction Z = f(z) définie par : Z = P(x,y) + i Q(x,y). P et Q désignant des fonctions réelles des variables x et y. La condition nécessaire et suffisante pour que Z tende vers une limite lorsque z tend vers z0 est évidemment que P(x,y) et que Q(x,y) tendent respectivement vers les limites A et B. La limite de Z est alors A + i B. Si, de plus P(x0,y0) et Q(x0,y0) existent, les fonctions P(x,y) et Q(x,y) sont continues et Z est fonction continue de z en z0.

  2. Conditions de Cauchy :

Supposons que, dans un certain domaine, P(x,y) et Q(x,y) soient des fonctions continues et qu’elles admettent des dérivées partielles continues. Désignons par dx et dy des accroissements infiniment petits de x et y. L’accroissement de z est dz = dx + i dy, et l’accroissement correspondant de Z est k tel que : k = P(x+dx , y+dy) + i Q(x+dx , y+dy) – P(x,y) – i Q(x,y)

La partie principale de k a donc pour expression : dZ = dx Px’(x,y) + dy Py’(x,y) + i [ dx Qx’(x,y) + dy Qy’(x,y) ]

rappel : Théorème :

Si les dérivées partielles premières sont continues et ne sont pas toutes nulles et si dx, dy tendent vers 0, l’accroissement de la fonction Z = f(x,y) est équivalent à la différentielle totale dZ de cette fonction.

Ou en simplifiant : dZ = dx [ Px’ + i Qx’ ] + dy [ Py’ + i Qy’ ].

La fonction Z = f(z) admet une dérivée si le rapport dZ/dz tend vers une limite lorsque dz tend vers 0. Or :

est une fonction des 2 variables indépendantes dx et dy ; il ne tend donc pas, en général, vers une limite lorsque dz tend vers 0. On peut s’en assurer en posant par exemple : dy/dx = t.

 est une fonction homographique en t, dont la valeur dépend de la manière dont le rapport dy/dx tend vers 0. Pour que dZ/dz tende vers une limite, il faut et il suffit que les coefficients du numérateur soient proportionnels à ceux du dénominateur :

( 1 )

 soit en séparant les parties réelles et imaginaires : Px’ = Qy’ et Py’ = - Qx’ Ce sont les conditions de Cauchy.

Une fonction Z = f(z) qui satisfait aux conditions de Cauchy pour z = z0 admet pour cette valeur une dérivée unique. Elle est dite monogène. La valeur numérique de la dérivée est celle prise par l’un des rapports (1) soit : Px’ + i Qx’ = Qy’ - i Py’.

 

FONCTION HOLOMORPHE : On dit qu’une fonction uniforme est holomorphe dans un domaine (D) lorsqu’elle est monogène en tous les points de ce domaine.

On peut montrer que si la fonction f(z) satisfait aux conditions de Cauchy, il en est de même de la fonction f(kz), k désignant une constante.

 

Rappel sur la différentiabilité : La différentielle est une application ú - linéaire

 Soit P(x,y) une fonction réelle en x et y.

P est différentiable en (x0,y0) s’il existe une forme ú - linéaire l : ú ˛ ® ú telle que :

 Si P est différentiable en (x0,y0) alors :

  

 F = (P,Q) : ú ˛ ® ú ˛ est différentiable en (x0,y0) ó P et Q sont différentiables en (x0,y0)

ó $ l : ú ˛ ® ú ˛ application linéaire tq :

 On peut écrire la matrice Jacobienne de F en a = D(P,Q)a :

  F : W ® ÷  ; F = P + i Q

 

F est différentiable en a ó $ l : ÷ ® ÷ application ú - linéaire telle que : ( u Î ÷ )

 En effet : l(u) = (dF)a u

 

Rappel sur les séries entières :

I- Définition & Rayon de Convergence :

u Définition : On appelle série entière une série de fonctions å un dont le terme général est de la forme : un(z) = anzn où z est une variable complexe ou réelle.

v Lemme d’Abel : Supposons qu’il existe z0 Î ÷ , z0 ą 0, tel que l’ensemble des anz0n soit borné (par exemple que la série å anz0n converge) alors la série entière converge pour tout z tel que | z| < | z0| .

w Rayon de convergence :

Soit la série å anzn. De trois choses l’une :

 la série ne converge que si z = 0

 la série converge pour tout z

 la série converge pour certains z ą 0 et diverge pour d’autres z

Théorèmes & définitions :

 Dans le cas (c), il existe un nombre réel R > 0, appelé rayon de convergence, caractérisé par les propriétés suivantes :

 Si ˝ z˝ < R, la série est absolument convergente.

 Si ˝ z˝ > R, le terme général ne tend pas vers zéro.

 On pose R = 0 dans le cas (a) et R = Ą dans le cas (b). Suivant le cas, on parle de cercle ( z complexe ) ou d’intervalle de convergence.

x Calcul du rayon de convergence :

Si la règle de D’Alembert, ou celle de Cauchy s’applique à la série å ˝ an˝ , on obtient facilement le rayon de converge :

 

II- Opérations sur les Séries Entières :

    1. Théorème [ADDITION] :

      2. Si les 2 séries entières å anzn et å bnzn ont pour rayons de convergence R et R˘ , la série entière somme, å (an + bn)zn = å anzn + å bnzn a un rayon de convergence R˛ vérifiant R˛ ł Min(R,R˘ ).

    2. Théorème [PRODUIT] :

Si les 2 séries entières å anzn et å bnzn ont pour rayons de convergence R et R˘ , la série entière produit, de terme général cnzn où :

a un rayon de convergence R˛ tel que : R˛ ł Min(R,R˘ ). De plus, pour ˝ z˝ < Min(R,R˘ ) on a :

 

III- Dérivation & Intégration :

Proposition : Le rayon de convergence de la série " dérivée ", å nanzn-1 est égal à celui de la série initiale (même chose pour la série des primitives : å anzn+1/(n+1)).

IV- Convergence Uniforme d’une Série Entière :

    1. Théorème :

      2. Soit une série entière å anzn, de rayon de convergence R ą 0, alors pour tout r tel que 0 < r < R, cette série est normalement, donc uniformément convergente dans le disque |z| Ł r.

    2. Corollaire : (mêmes notations)

      3. La somme de la série est une fonction continue à l’intérieur du disque de convergence.

    3. Corollaire :

      4. Soit une série entière å anxn, de rayon de convergence R non nul, alors la somme est dérivable dans l’intervalle ]-R,+R[ et sa dérivée est la somme de la série dérivée :

       

    4. Corollaire : (mêmes hypothèses)

      5. La somme f d’une série entière est une fonction indéfiniment dérivable et il y a unicité du développement de f en série entière.

    5. Corollaire : (mêmes hypothèses)

La somme admet pour primitive, dans l’intervalle ]-R,+R[, la somme de la série entière obtenue en intégrant terme à terme :

 

 

 

p Fonction Exponentielle et Fonction Logarithmique :

exp(z) = ez où z = x + iy, est la fonction exponentielle complexe vérifiant les propriétés suivantes :

Définissons une fonction L(z) sur ÷ * de la manière suivante :

z = r (cos q + i sin q ) r Î ú >0 et -p < q Ł p : L(z) = ln(r) + iq

 

Définition : L(z) est la détermination principale du logarithme.

Propriétés de L(z) :

eL(z) = z On a cela quelque soit la détermination du logarithme

L(z) n’est pas continue sur ú - = {a Ł 0}

L(z) est holomorphe sur ÷ - ú - et L˘ (z) = 1/z

Log(z1z2) ş log(z1) + log(z2) mod(2ip ) ( ! On n’a pas toujours ça !)

( Log(z) = L(z) )

Définition : Soit W Ì ÷ un ouvert et L : W ® ÷ une fonction holomorphe tq exp(L(z)) = z pour z Î W . Alors L(z) est une détermination du logarithme.

 

 

q Autres Fonctions Classiques :

 Formules de Passage :

cos(z) = ch(iz)

sin(z) = - i sh(iz)

ch(z) = cos(iz)

sh(z) = - i sin(iz)

cos˛(z) + sin˛(z) = 1

ch˛(z) – sh˛(z) = 1

Périodes :

Cos(z) et Sin(z) sont 2p - périodiques

Ch(z) et Sh(z) sont 2ip - périodiques

p est l’antipériode pour cos(z) et sin(z)

ip est l’antipériode pour ch(z) et sh(z)

Comportement à l’infini :

On pose z = x + iy :

Cos(z) = cos(x)ch(y) – i sin(x)sh(y) (1)

Sin(z) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) (2)

|cos(z)|˛ = cos˛(x) + sh˛(y)

|sin(z)|˛ = sin˛(x) + sh˛(y)

Conclusion :

Cos(z) et sin(z) ne sont pas bornées mais cos(z) & sin(z) sont bornées sur les bandes horizontales.

On a également tan et th définies par :

 

 Zéros & pôles pour tan(z) et th(z) :

Cos(z) = 0 ó (2) cos(x)ch(y) = 0 OU sin(x)sh(y) = 0 ó cos(x) = 0 OU sh(y) = 0

{p /2 + kp } [resp. i{p /2 + kp }] (k = 0,± 1, ± 2, ± 3,..) sont les zéros de cos(z) [ch(z)] et les pôles de tan(z) [th(z)].

De même, {kp } [resp. i{kp }] sont les zéros de sin(z) [sh(z)].

Les notions de " zéro " et de " pôle " seront revues ultérieurement plus en détails. Rappelons simplement pour mémoire, qu’on appelle zéro d’une fonction F, tout nombre a tel que F(a) = 0. Supposons en particulier que F soit un polynôme non nul. Alors l’ensemble des zéros de F est fini, de cardinal inférieur ou égal au degré de F. Si a est un zéro de F, z – a est un facteur de F. Le plus grand entier k tel que (z – a)k divise F s’appelle l’ordre du zéro a. On appelle fonction rationnelle, toute fonction F de la forme A/B où A et B (non nul) sont des polynômes. F est alors définie et holomorphe dans le complémentaire de l’ensemble des zéros de B ou dans le complémentaire de ses pôles. Si a est un zéro d’ordre k de B, 2 choses peuvent arriver :

 (z-a)k divise A et F se prolonge par continuité en a

 a n’est pas un zéro de A ou est un zéro d’ordre inférieur strictement à k, alors la limite quand z tend vers a de |F(z)| vaut l’infini et a est un pôle de F.

 

 

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