Licence de Mathématiques

Algèbre et Théorie des Nombres

Année Universitaire 2000 ~ 2001

Une production MATHEMATINIUM 2000 (http://yttriumath.free.fr)

 

Chapitre 3

Les Anneaux

 

  1. Généralités :


    1. Définition d’un anneau :
    2. Définition :

      Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations (lois internes) :

      • Une addition qui fait de A un groupe abélien
      • Une multiplication qui est associative (a(bc) = (ab)c).

      Ces deux opérations sont compatibles, i.e. " a, b, c Î A :

      a(b+c) = ab + bc

      (b+a)c = bc + ac (Distributivité de ´ sur +)

      Dans ce cours, on supposera toujours qu’un anneau A est commutatif i.e. ab = ba " a, b Î A et aussi que A est unitaire, i.e. ab = ba " a, b Î A et aussi que A est unitaire, i.e. il existe 1 Î A tel que a.1 = 1.a = " a Î A.

      Exemple : Z est un anneau commutatif.

    3. Définition d’un sous-anneau :
    4. Définition :

      Si A est un anneau, un sous-anneau B de A est un sous-groupe additif de A qui est stable par multiplication et qui contint 1.


    5. Elément inversible :
    6. A est un anneau et a appartient à A. On dit que a est inversible dans A s’il existe un b de A tel que ab = 1.

      B est alors unique, c’est l’inverse de a, noté a-1. L’ensemble de tous les éléments inversibles de A forme un groupe multiplicatif abélien noté A*. Par exemple : Z* = {-1,1}.

      Un anneau A est appelé un corps si tous les éléments non nuls de A sont inversibles. Par exemple, Q, R, C sont des corps.

    7. Le corps des fractions :
    8. Dans un anneau A, considérons une équation du type : ax = ay, en général (même si a ¹0), on ne peut pas simplifier par a et en déduire x = y. Remarquons que cette équation équivaut à : a(x-y) = 0. On dira qu’un anneau A est intègre si . Remarquons qu’un corps est intègre et que tout sous anneau d’un anneau intègre est intègre.

      Par exemple, Z est intègre, Q est un corps, en fait c’est le plus petit corps contenant Z. On peut généraliser la construction de Q à partir de Z, à tout anneau intègre.

      Proposition :

      A un anneau intègre. Il existe un plus petit corps K contenant A. Tout élément x de K s’écrit x = ab-1 avec a, b Î A, b ¹ 0. K est le corps des fractions de A.


      Exemple :

      Soit a Î Z fixé, vérifier que A = Z + ZÖa est un sous anneau de C et que le corps des fractions de A est K = Q + QÖa.

    9. Morphisme :
    10. Soient A et A¢ deux anneaux. Un morphisme d’anneaux f : A® A¢ est une application qui respecte les opérations i.e. qui vérifie :

      f(a+b) = f(a) + f(b)

      f(ab) = f(a)f(b)

      f(1A) = 1A¢

      Si un morphisme f : A® A¢ est bijectif, on vérifie que f-1 est aussi un morphisme ; on dit que f est un isomorphisme. Deux anneaux sont isomorphes s’il existe un isomorphisme entre eux.

    11. Idéal et anneau quotient:
    12. Définition :

      Soit A un anneau. Un sous-groupe additif I de A est appelé un idéal de A, si de plus : .


      Exemples :

      Soit A un anneau.

      1. est un idéal noté (x), appelé idéal principal engendré par x (c’est le plus petit idéal de A contenant x). (0) et (1) sont des idéaux de A.
      2. Plus généralement, si x1,…,xn sont dans A, le plus petit idéal de A contenant tous les xi est noté aussi (x1,…,xn). C’est l’idéal engendré par les xi.
      3. Pour A = Z, tous les idéaux sont principaux.
      4. Un anneau A est un corps ssi (0) et A sont les seuls idéaux de A.
      5. Toute intersection d’idéaux de A est un idéal de A.
      6. I, J deux idéaux de A :
        I + J = {x + y, x Î I, y Î J} est un idéal de A.
        IJ = {S xiyi, xi Î I, yi Î J} est un idéal de A
      7. Si f : A® A¢ est un morphisme d’anneaux, Ker f = {a Î A ; f(a) = 0} est un idéal de A. Réciproquement, on a :

      Proposition :

      Soit I un idéal d’un anneau A. Sur le groupe additif quotient A/I, il existe une unique multiplication qui fait de A/I, un anneau et telle que la surjection canonique p : A ® A/I soit un morphisme d’anneaux. On a alors I = Ker p ; A/I est l’anneau quotient de A par I (ou l’anneau des classes modulo I).


      Exemple :

      A = Z, n Î Z, I = (n)

      L’anneau quotient A/I est l’anneau des entiers modulo n.

      Remarque :

      I un idéal d’un anneau A ; alors dans A/I équivaut à : a – b Î I ; dans ce cas, on dit que a et b sont congrus modulo I.

      L’anneau quotient A/I vérifie la propriété universelle suivante :

      Proposition :

      Soit f un morphisme d’anneaux : A® A¢, I un idéal de A avec I Í Ker f. Alors il existe un unique morphisme d’anneaux  : A/I ® A¢ tel que . De plus, est injectif ssi I = Ker f.


    13. Théorème des restes chinois :
    14. Soient A1, A2, …, An des anneaux. Sur le produit cartésien A1´A2´´An on définit une structure d’anneaux en posant " a = (ai)i et b = (bi)i : a + b =(ai + bi)i et ab = (aibi)i (produit direct des anneaux Ai).

      Soit A un anneau, I1, I2, …, In des idéaux de A.

      " i notons Pi : A ® A/Ii la surjection canonique.

      On définit alors un morphisme d’anneaux injectif. .

      On peut alors généraliser le théorème des restes chinois (dans Z, résolution simultanée de plusieurs congruences) pour un anneau quelconque A.

      On dira que deux idéaux I et J d’un anneau A sont étrangers si I + J = A (par exemple, pour A = Z, (a) et (b) sont étrangers ssi a et b sont premiers entre eux, par le théorème du Bezout).

      Théorème des restes chinois :

      A un anneau, I1, I2,…,In des idéaux de A, étrangers deux à deux. Alors le morphisme est un isomorphisme. De plus : . En d’autres termes, un système de congruences x º ai [mod Ii] 1 £ i £ n a une unique solution dans A modulo I1I2…In.


    15. Caractéristique d’un anneau :
    16. Soit A un anneau.

      L’application j : est un morphisme d’anneaux. Il existe donc un unique entier m ³ 0 tel que Ker j = (m) ; m est la caractéristique de A. Z/(m) s’identifie alors à un sous anneau de A (c’est le plus petit sous-anneau de A). On a : .

      Remarque :

      Si A est intègre, sa caractéristique est soit 0, soit un nombre premier p.

  2. Polynômes :


    1. Anneau de polynômes :
    2. A un sous anneau d’un anneau B, x Î B, l’ensemble de toutes les sommes finies Saixi, ai Î A forme un sous anneau de B (c’est en fait le plus petit sous anneau de B contenant x et A), noté A[x]. En général, x peut vérifier une relation algébrique non triviale, Saixi = 0 avec les ai Î A non tous nuls dans ce cas, on dit que x est algébrique sur A.

      Si x n’est pas algébrique sur A (i.e. si Saixi = 0 Þ " i, ai = 0), on dit que x est transcendant sur A et que A[x] est un anneau de polynôme à une indéterminée x et à coefficient dans A.

      Exemple :

      1. a Î Z, Öa Î C est algébrique sur Z puisque (Öa)² - a = 0 et Z(Öa) = Z + ZÖa.
      2. a Î Z, a ¹ 0, a-1 Î Q est algébrique sur Z, puisque aa-1 – 1 = 0 et Z[a-n] = {ba-n, b Î Z, n ³ 0}. Par exemple, pour a = 10, on obtient l’anneau des nombres décimaux.
      3. p est transcendant sur Q (1882 – Lindemann)

      Proposition :

      Soit A un anneau :

      1. Tout anneau de polynôme A[x] vérifie la propriété universelle suivante :
        " morphisme d’anneaux f : A ® A¢ et " x¢ Î A¢, f se prolonge d’une manière unique en un morphisme d’anneaux tel que .
      2. Il existe (au moins) un anneau de polynôme sur A.

      Remarque :

      Si A[x] et A[x¢] sont deux anneaux de polynôme, la propriété universelle montre qu’il existe un isomorphisme d’anneaux A[x] ® A[x¢] tel que " a Î A : a ® a et x ® x¢. On parle donc de l’anneau des polynômes A[X] à une indéterminée X et à coefficient dans A.

    3. Le corps des fractions rationnelles:
    4. A un anneau, P Î A[X], P ¹ 0, avec ai Î A. Le degré de P est le plus grand entier n tel que an ¹ 0 noté deg P. an est le coefficient dominant de P. On a donc avec an ¹ 0 , chaque aiXi est un monôme. Si an = 1, on dit que le polynôme est unitaire, par convention, on pose deg 0 = - ¥.

      Proposition :

      Soit A un anneau intègre.

      1. " P, Q Î A[X], on a : deg(PQ) = deg P + deg Q.
      2. L’anneau A[X] est intègre et (A[X])* = A*
        Si K = Frac(A) alors A[X] et K[X] ont même corps des fractions, noté K(X), le corps des fractions rationnelles à une indéterminée X.


    5. Division euclidienne :
    6. Proposition :

      Soit A un anneau.

      Soit P Î A[X] dont le coefficient dominant est inversible dans A. Alors " Q Î A[X]. Il existe un unique couple de polynôme R, S Î A[X] tel que Q = PX + R et deg R < deg P.


    7. Racines :
    8. A un sous anneau d’un anneau B et x Î B.

      Soit P Î A[X], , on note .

      L’application est un morphisme d’anneaux ("évaluation en x).

      Ker (ex) = {P Î A[X], P(x) = 0} est un idéal de A[X] et par la propriété universelle du quotient, on obtient un isomorphisme d’anneaux .

      Si P(x) = 0, on dit que x est une racine (dans B) du polynôme P.

      Exemples :

      1. Soit a Î A. Alors Ker ea = (X-a) et .
      2. a Î Z, considérons Öa Î C et Öa Ï Z. Alors, Ker eÖa = (X² - a) et

      Proposition :

      Soit A un anneau intègre, P Î A[X], P ¹ 0. Supposons que P a n racines distinctes a1, …, an dans A. Alors dans A[X]. En particulier, deg P ³ n.


      Remarque :

      Ce résultat prouve que dans un anneau intègre, un polynôme P ¹ 0 a au plus n = deg P racines distinctes (c’est faux en général, par exemple : Xn – 1 a 4 racines distinctes dans Z/8Z).

    9. Racine simple :
    10. A un anneau. P Î A[X] ; a une racine de P dans A ; le plus grand entier h ³ 1 tel que (X – a)h | P dans A[X] s’appelle la multiplicité de a dans P. Si h = 1, a est dite racine simple de P.

      On définit le polynôme dérivé de par . On vérifie facilement les propriétés suivantes : " P, Q Î A[X], " l Î A : (lP + Q)¢ = lP¢ + Q¢ et (PQ)¢ = P¢Q + PQ¢.

      Proposition :

      Soit P Î A[X] et a Î A une racine de P. Alors a est racine simple de P ssi P¢(a) ¹ 0.


    11. Interpolation de Lagrange :
    12. Proposition :

      A un anneau, a1,…,an des éléments de A tel que " i ¹ j, ai – aj est inversible dans A. Alors " b1, …, bn dans A, il existe un unique P Î A[X] de degré < n avec P(ai) = bi " i Î {1,…,n}.


  3. Divisibilité dans les anneaux intègres :
  4. On considère dans tout cette partie un anneau intègre A.

    1. Idéal principal :
    2. Si a Î A, on note (a) = Aa = {xa ; x Î A} l’idéal principal engendré par a. Soit b Î A. Remarquons que (a) Í (b) Û $ x Î A ; a = xb. Dans ce cas, on dit que b divise a dans A ou que a est un multiple de b dans A.

      Par exemple, b|1 ssi b Î A*. Si a|b et b|a i.e. (a) = (b), $ u Î A* tel que a = ub, on dit alors que a et b sont associés dans A (ceci définit une relation d’équivalence dans A).

      Définition :

      Un élément a de A est irréductible dans A si a Ï A* et si a = bc avec b, c Î A Þ b Î A* ou c Î A*.


      Exemple :

      Dans Z, les éléments irréductibles sont les ±p où p est premier.

    3. Anneau factoriel :
    4. Un anneau intègre A est dit factoriel si tout élément non nul et non inversible a de A se décompose de façon unique en un produit fini d’éléments irréductibles (l’unicité signifie que si avec les qj et pi irréductibles alors n = m et après réindexation éventuelle pi et qi sont associés " i).

      Exemples :

      1. Z est factoriel (par le théorème fondamental de l’arithmétique)
      2. A = Z[iÖ5] = Z + iÖ5Z n’est pas factoriel

    5. Anneau principal :
    6. Définition :

      Un anneau intègre A est dit principal si tous ses idéaux sont principaux.


      Proposition :

      A principal Þ A factoriel.


    7. Anneau euclidien :
    8. Définition :

      Un anneau intègre A est dit euclidien, s’il existe une fonction telle que " a Î A et " b Î A\{0}, $ q, r Î A avec a = bq + r et r = 0 ou j(r) < j(b).


      Proposition :

      A euclidien Þ A principal Þ A factoriel.


      Exemples :

      1. Z est euclidien, on prend j(x) = |x|.
      2. Soit K un corps, l’anneau des polynômes K[X] est euclidien, on prend j(P) = deg P.
      3. L’anneau des entiers de Gauss : Z[i] = Z + Zi est euclidien (le montrer !).
      4. Il existe des anneaux principaux non euclidien ; Par exemple, , on peut montrer que Z[q] est principal non euclidien.
    9. Elément premier :
    10. Définition :

      Soit A un anneau intègre. Un élément p de A st dit premier (dans A) si l’anneau quotient A/(p) est intègre ; ceci équivaut à dire que " a, b Î A, p|ab Þ p|a ou p|b.


      Remarque :

      Si p est premier et non nul, alors p est irréductible.

      Proposition : Lemme d’Euclide :

      Si A est un anneau factoriel, tout élément irréductible de A est premier dans A.


    11. Pgcd et Ppcm :
    12. Soit A un anneau factoriel. Choisissons P un ensemble de représentants des classes d’équivalence (modulo la relation d’association) des éléments irréductibles de A. Alors on peut factoriser d’une manière unique un élément a Î A\{0} sous la forme : avec u(a) Î A*, Vp(a) Î N " p et Vp(a) = 0 sauf pour un nombre fini de p.

      Par unicité : " a, b Î A\{0}, u(ab) = u(a)u(b) et " p Î P, Vp(ab) = Vp(a) + Vp(b). Remarquons aussi que a|b ó " p Î P, Vp(a) £ Vp(b).

      Proposition :

      A un anneau factoriel ; a, b Î A\{0}. Les CSSE :

      1. a et b n’ont pas de facteurs irréductibles communs dans A.
      2. " c Î A, si a|bc alors a|c.
      3. " c Î A, si a et b divise c, alors ab|c.

      Dans ce cas, on dit que a et b sont premiers entre eux dans A.


      Proposition :

      A un anneau factoriel, 2 éléments non nul a et b de A ont un pgcd et un ppcm (unique à un facteur inversible près).

      On a d = pgcd(a,b) = et m = ppcm(a,b) = .

      En terme d’idéaux, (m) = (a) Ç (b) et (d) est le plus petit idéal principal de A contenant (a) et (b) ; (ab) = (dm).


      Remarque :

      Plus généralement, on voit que dans un anneau factoriel A, une famille finie d’éléments a1, a2, …, an possède un pgcd et un ppcm. On dit que les (ai)i sont premiers entre eux si les ai n’ont aucun facteur irréductible commun.

    13. Corps :
    14. Proposition :

      A un anneau principal

      1. Un élément p de A est irréductible ssi l’anneau quotient A/(p) est un corps.
      2. Soient a, b Î A\{0}, d = pgcd(a,b). Alors (d) = (a)+(b). En particulier, a et b sont premiers entre eux ssi il existe l, m Î A avec la + mb = 1 (Identité de Bezout).

      Corollaire :

      Soit A un anneau intègre. Alors A[X] est principal ó A est un corps.


    15. Polynômes primitifs :
    16. A un anneau factoriel

      P Î A[X], P ¹ 0, on note c(P) le pgcd dans A des coefficients de P (défini à un facteur inversible près) (c’est le contenu de P).

      Si c(P) Î A*, c’est à dire si les coefficients de P sont premiers enter eux, on dit que P est primitif.

      Remarquons que c(P)-1P Î A[X] est primitif.

      Lemme de Gauss :

      A un anneau factoriel, P, Q Î A[X]\{0}

      1. P et Q primitifs Þ PQ primitif
      2. c(PQ) et c(p)c(Q) sont associés dans A

      Théorème :

      Soit A un anneau factoriel de corps des fractions K. Alors :

      1. l’anneau des polynômes A[X] est factoriel
      2. les éléments irréductibles de A[X] sont d’une part les éléments irréductibles de A et d’autre part les polynômes primitifs de A[X] qui sont irréductibles dans K[X].

      Corollaire :

      1. " corps K et " entier n ³ 1 ; K[X1,…,Xn] est factoriel (non principal dès que n ³ 2)
      2. Z[X1,…,Xn] est factoriel et non principal.


    17. Critère d’Eisenstein :
    18. Théorème : Critère d’Eisenstein :

      Soit A un anneau factoriel, K son corps des fractions. Soit P Î A[X],  ; an ¹ 0. Supposons qu’il existe un élément irréductible p de A avec :

      1. p ne divise pas an dans A
      2. p divise ai " i Î {0,…,n-1}
      3. p2 ne divise pas a0

      Alors P est irréductible dans K[X].


      Proposition : Réduction modulo p :

      Soit A un anneau principal, K son corps des fractions. Soit P Î A[X], avec an ¹ 0. Supposons qu’il existe un élément irréductible p de A avec :

      1. p ne divise pas an
      2. est irréductible.

      Alors P est irréductible dans K[X].


  5. Polynômes symétriques :
    1. Définition :
    2. Soit A un anneau, B = A[X1, X2, …, Xn], l’anneau de polynôme à n indéterminées et à coefficients dans A. Le groupe symétrique Sn agit sur l’ensemble B par permutation de variables : " P Î B, " s Î Sn, on pose : .

      Définition :

      P Î B est dit symétrique si " s Î Sn : s.P = P


    3. Polynôme homogène :
    4. " P Î B, on peut écrire pour et an Î A ; chaque anXn est un monôme.

      Si P ¹ 0, on définit la degré total de P par avec |n| = n1 + n2 + … + nn.

      On dira qu’un polynôme P est homogène de degré d, si tous ses monômes ont même degré d. Il est clair que " P ¹ 0, P s’écrit de manière unique comme somme de polynômes homogènes.

    5. Le poids d’un polynôme :
    6. Soit un monôme.

      Remarquons que est homogène de degré total n1 + 2n2 + … + nnn ; ce nombre s’appelle le poids du monôme A. Le poids d’un polynôme sera le maximum des poids de ses monômes. Remarquons ainsi que l’ensemble de tous les polynômes symétriques est un sous anneau Bsym de B = A[X1, X2, …, Xn].

      Théorème :

      Soit P Î A[X1, X2, …, Xn] un polynôme symétrique de degré total d. Alors il existe un unique polynôme Q Î B de poids d tel que P(X1, X2, …, Xn) = Q(s1,…,sd).


       

  6. Extensions algébriques :
    1. Définitions :
    2. Soit L un corps et K un sous-corps de L.

      On dit que L est une extension de K. On peut voir en particulier L comme un K – espace vectoriel (l’addition est celle du corps L et la multiplication externe est donnée par : " l Î K , " x Î L : l .x = lx). La dimension du K – espace vectoriel L est appelée le degré de L sur K et est notée : [L : K].

      Théorème :

      Soient K Í L Í M deux extensions du corps K. Alors [M : K] est fini ssi [M : K] et [L : K] sont finis et dans ce cas on a : [M : K] = [M : L] . [L : K].


    3. Elément algébrique :
    4. Soit K Í L une extension. Rappelons qu’un élément x de L est dit algébrique sur K s’il existe un polynôme P Î K[X], P ¹ 0 tel que P(x) = 0. D’autre part, on peut considérer K[X] (resp. K(X)) le plus petit sous-anneau (resp. sous-corps) de L contenant K et X.

      Théorème :

      Les conditions suivantes sont équivalentes :

      1. x est algébrique sur K
      2. K[x] est un corps (i.e. K[x] = K(x))
      3. DimK K[x] < +¥

      Remarque :

      Soit x Î L algébrique sur K.

      Le noyau du morphisme surjectif d’anneaux est un idéal principal engendré par un unique polynôme unitaire, appelé le polynôme minimal de x sur K et noté Px. On a donc un isomorphisme d’anneaux :  ; comme K[x] est un corps, on voit que Px est irréductible sur K. De plus, par division euclidienne, on voit que d°(Px) = [K(x) : K] (en fait, {1, x, …, xn-1} (n = d°(Px)) est une base du K espace vectoriel K(x)). On dit que x est algébrique sur K de degré n.

    5. Extension algébrique :
    6. Une extension K Í L est dite algébrique (sur K) si tout élément x Î L est algébrique sur K.

      Proposition :

      Soit K Í L une extension.

      1. Si [L : K] est fini alors L est algébrique sur K.
      2. Soit x1, x2, …, xn des éléments de M. Notons K[x1, x2, …, xn] (resp. K(x1, x2, …, xn)) le plus petit sous-anneau (resp. le sous corps) contenant K et les xi. Alors si les xi sont algébriques sur K, alors K[x1, x2, …, xn] = K(x1, x2, …, xn) et c’est une extension de degré fini de K.
      3. Si x, y Î L sont algébriques sur K, alors x + y, -x, xy, x-1 sont aussi algébrique sur K (autrement dit {x Î L ; x est algébrique sur K} est un sous corps de L, extension algébrique de K.

    7. Adjonction de racines :
    8. Proposition :

      K un corps et P Î K[X] un polynôme non constant. Il existe une extension L de K et a Î L avec L = K(a) et P(a) = 0. (On dit que L est un corps de rupture de P sur K).


      Définition :

      K un corps ; on dit qu’un polynôme P Î K[X] non constant est scindé sur K si P a toutes ses racines dans K i.e. si tous les facteurs irréductibles de P dans K[X] sont de degré 1.


      Corollaire :

      K un corps, P Î K[X] non constant. Il existe une extension de degré finie L de K tel que P soit scindé sur L.


    9. Corps algébriquement clos :
    10. Proposition :

      Soit K un corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :

      1. " P Î K[X] non constant, P est scindé sur K
      2. tout polynôme irréductible dans K[X] est de degré 1
      3. si L est extension algébrique de K, alors L = K.

      Si K vérifie les conditions suivantes, on dit que K est algébriquement clos.


    11. Corps finis :
    12. Soit p un nombre premier ; on sait que l’anneau quotient est un corps à p élément ; on note ce corps. Soit K un corps fini ; alors Carac(K) est un nombre premier p (car sinon K contient ce qui est absurde puisque est infini), par suite, K contient . En particulier [K : ] = f < +¥ ; donc Card(K) = pf. Réciproquement, on a le théorème suivant :

      Théorème :

      Soit p un nombre premier et f ³ 1 un entier. Il existe un corps fini à q = pf élément. De plus, ce corps est unique à un isomorphisme près, on le note .


      Corollaire :

      Soit K un corps fini. Alors " n ³ 1, $ un polynôme P Î K[X] irréductible de degré n.