1. Définition et propriétés :




Définition : Un groupe est un ensemble G muni d’une opération (loi interne) : (loi produit) qui vérifie : a) x(yz) = (xy)z " x, y, z Î G [ASSOCIATIVITE]. b) $ e Î G avec ex = xe = x " x Î G [e est l’ELEMENT NEUTRE]. c) " x Î G, $ y Î G avec xy = yx = e [x est inversible dans G, y est l’INVERSE de x dans G].




Propriétés : L’élément neutre est unique. " x Î G, x a un unique inverse y, noté x-1. L’associativité permet de noter sans ambiguïté le produit de n éléments x1, x2, …, xn de G (dans cet ordre) par x1x2…xn. (on peut supprimer les parenthèses). " x Î G, " n ³ 1, on note xn = x…x (n fois). Alors (xn)-1 = (x-1)n = x-n. De plus, on note x0 = e. Alors " n, m Î Z, xnxm = xn+m et (xn)m = xnm. (xy)-1 = y-1x-1. En général, le produit dans G n’est pas commutatif (i.e. xy ¹ yx " x, y). Si le produit est commutatif, on dit que G est abélien. Dans ce cas, on note (en général) l’opération additivement : x + y, l’élément neutre 0, l’inverse (l’opposé) de x : -x, et x + … + x (n fois) = nx Dans un groupe, une équation du type ax = b a une unique solution, à savoir, x = a-1b.

 

2. Sous-groupe :




Définition : Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est un sous-ensemble non vide H de G, stable par produit et par inverse, c’est à dire tel que : " x, y Î H, xy Î H et x-1 Î H.

On peut résumer ces deux axiomes par le suivant : " x, y Î H, xy^-1 Î H.

Remarques :

1. Si H est un sous-groupe de G, H contient l’élément neutre e de G. En fait, H est un groupe pour l’opération induite par celle de G.
2. La détermination de tous les sous-groupes d’un groupe G est en général très difficile. En tout cas, G a au moins deux sous-groupes G et {e}. Si G = {e}, on dit que G est trivial.
3. Toute intersection de sous-groupes est encore un sous-groupe.

3. Exemples :

1. Z muni de l’addition usuelle est un groupe abélien. Quels sont les sous groupes de Z ?
   " a Î Z, aZ est un sous groupe de Z. Réciproquement, soit H un sous groupe de Z, si H est trivial, H = {0} = 0Z. Sinon, soit a ¹ 0 dans H de plus petite valeur absolue, évidemment aZ Í H, inversement, soit b Î H, par division euclidienne, b = aq + r avec 0 £ r < |a|, alors r = b – aq Î H, par le choix r = 0, donc b = aq Î aZ. Ainsi H = aZ.
2. Soit K un corps. Alors K* = K – {0} est un groupe pour la multiplication de K.
3. Soit E un ensemble non vide. L’ensemble de toutes les permutations de E (i.e. bijection de E dans E) forme un groupe pour la loi de composition : s z = s · z avec pour élément neutre Id et l’inverse s ^-1 est la permutation réciproque ; c’est le groupe symétrique de E, noté S_E. Si l’ensemble E est muni d’une structure supplémentaire, on obtient un sous groupe de S_E en considérant les permutations qui conservent cette structure. Par exemple, si E est un espace vectoriel, on peut considérer le sous groupe GL(E) = {s Î S_E, s linéaire}.
4. Soit G₁, …, G_n des groupes sur le produit cartésien G₁ ´ …´ G_n, on peut définir une structure de groupe en posant " x = (x_i)_i et " y = (y_i)_i, xy = (x_iy_i)_i. C’est le produit direct des groupes G_i.

4. Morphisme :




Définition : Soient G et G¢ deux groupes. Un morphisme de G dans G¢ est une application f : G ® G¢ qui respecte le produit i.e. " x, y Î G f(xy) = f(x)f(y)





Propriétés : f est un morphisme Þ f(e) = e¢ et " x Î G f(x)-1 = f(x-1). La composée de deux morphismes est aussi un morphisme. f : G ® G¢ un morphisme. Si H [resp. H¢ ] est un sous groupe de G [resp. G¢ ], alors f(H) est un sous groupe de G¢ et f-1(H¢ ) est un sous groupe de G. En particulier, f-1({e¢ }) = Ker f est un sous groupe de G et f(G) = Im f est un sous groupe de G¢ . De plus, f est surjective ó Im f = G¢ et f injectif ó Ker f = {e}. Si un morphisme f : G ® G¢ est bijectif, alors f-1 est aussi un morphisme, on dit alors que f est un isomorphisme et G et G¢ ont exactement les mêmes propriétés.

Exemple :

Soient E et E¢ deux ensembles équipotents (i.e. il existe une bijection j  : E ® E¢ ), alors l’application Y  : s Î S_E ® j · s · j ^-1 Î S_E¢ est un isomorphisme de groupe.

Soit n ³ 1. Pour tout ensemble E fini à n éléments, le groupe S_E est isomorphe au groupe symétrique de l’ensemble {1,2,…,n}, noté S_n.

5. Ordre d’un groupe :

Un groupe fini G à n éléments est dit d’ordre n. Son ordre correspond donc à son cardinal et on écrit |G| = n.

Proposition de Cayley : Tout groupe fini G d’ordre n est isomorphe à un sous groupe de Sn.

 

6. Ensemble de générateurs d’un groupe :

Soient G un groupe et X une partie de G. Le plus petit sous-groupe de G contenant X est noté <X>. Si G = <X>, on dit que G est engendré par X ou que X est un ensemble de générateurs du groupe G, dans ce cas, tout élément x de G peut se décomposer de la façon suivante :

x = x₁ … x_n avec " i x_i Î X ou x_i ^–1 Î X

7. Groupes cycliques :

Supposons que le groupe G est engendré par un seul élément, G = <x>. On dit alors que G est monogène, on a G = {xⁿ ; n Î Z} (mais en général les xⁿ ne sont pas tous distincts).

Proposition : Soit G un groupe, x Î G. Si <x> est infini, alors <x> @ Z <x> est fini d’ordre n ó n est le plus petit entier supérieur à 1 tel que xn = e (on dit que x est d’ordre n et que <x> est un groupe cyclique d’ordre n) ó xn = e et si xh = e alors n | h.

Dans ce cas, <x> est isomorphe au groupe additif Z/nZ (qui est abélien) des entiers modulo n.

<x> = {e, x, x², …, x^n-1}.

Propriétés : Soit G un groupe et x Î G. Si G est fini, x est d’ordre n £ |G|. De plus, G = <x> ó n = |G|. Si xa = e, alors l’ordre de x divise a. Si x est d’ordre n, alors " a ¹ 0, xa est d’ordre . En particulier, xa engendre le groupe <x> (<xa> = <x>) ó a et n sont premiers entre eux. Soient x, y Î G. Supposons que x et y commutent (i.e. xy = yx). Si x est d’ordre n et y d’ordre m, alors xy est d’ordre nm ó n et m sont premiers entre eux.

Théorème : Soit G = <x> un groupe cyclique d’ordre n. Tout sous-groupe H de G est cyclique d’ordre d un diviseur de n et on a H = <xn/d>. Pour tout d diviseur de n, il existe un unique sous groupe (cyclique) d’ordre d de G, à savoir H = {y Î G ; yd = e}. Aut(G) est isomorphe au groupe multiplicatif formé de classes d’entiers inversibles modulo n, noté (Z/nZ)*. En particulier : |Aut G| = j (n) = nombre de générateur du groupe G. Rappelons que l’ensemble de tous les automorphismes de G est un sous groupe de SG.

Soit H un sous groupe d’un groupe G. On définit deux relations d’équivalence sur G par :

(congruence à gauche modulo H) ssi x^-1y Î H

(congruence à droite modulo H) ssi xy^-1 Î H

Si, par exemple, G = Z et H = nZ on obtient la relation de congruence modulo n.

Les classes d’équivalence d’un élément x Î G sont respectivement les ensembles :

xH = {xy ; y Î H} (classe à gauche de x modulo H)

Hx = {yx ; y Î H} (classe à droite de x modulo H)

Remarquons que toutes les classes à gauche [resp. à droite] sont équivalentes à H par bijection.

Notons (G/H)_g [resp. (G/H)_d] l’ensemble de toutes les classes à gauche [resp. à droite] des éléments de G modulo H. Ces deux ensembles ont donc le même cardinal, noté [G : H] appelé l’indice de H dans G. Si [G : H] est fini, on dira que H est d’indice fini dans G. Par exemple, nZ est d’indice fini n dans Z.

1. Théorème de Lagrange :




Théorème de Lagrange : Soit H un sous-groupe d’un groupe fini G, alors |G| = |H| ´ [G : H], en particulier |H| divise |G|.





Corollaire : Soit G un groupe fini d’ordre n. Alors, " x Î G, xn = e.





Corollaire : Tout groupe fini G d’ordre p premier est cyclique (donc isomorphe à Z/pZ).




2. L’ensemble HK :

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe G. On note HK = {xy ; x Î H, y Î K}.

Proposition : Card (HK) =

Remarque :

1. En général, HK n’est pas un sous groupe de G.
   HK est un sous groupe ó HK = KH.
2. Supposons |H| et |K| premiers entre eux, alors HÇ K est trivial et Card(HK) = |H| ´ |K|

 :

3. Groupes distingués :

Soit H un sous groupe d’un groupe G.

Proposition : Les conditions suivantes sont équivalentes : " x, y Î G, " x Î G, xH = Hx " x Î G, xHx-1 = H (i.e. stable par conjugaison par x) " x, y, z Î G,

Si H vérifie l’une de ces conditions équivalentes, on dit que H est un sous groupe distingué (ou normal) de G et on note HÌ G ; dans ce cas, on note G/H l’ensemble des classes modulo H des éléments de G.

Propriétés : Dans un groupe abélien, tout sous groupe est distingué. Z(G)Ì G (Z(G) est le centre de G) Si [G : H] = 2 alors HÌ G Soient K Í H Í G des sous groupes. Alors KÌ G Þ KÌ H. Mais en général, KÌ H et HÌ G n’implique pas KÌ G. Soit f : G ® G¢ un morphisme de groupes, alors Ker f Ì G.





Théorème : Soit HÌ G. Notons p  : la surjection canonique. Il existe sur l’ensemble G/H une unique structure de groupe tel que p soit un morphisme et on a : Ker p = H. Le groupe G/H s’appelle le groupe quotient de G par H.





Exemples :

1. Les groupes quotients de Z sont les groupes Z/nZ.
2. Tout groupe quotient d’un groupe cyclique est cyclique.




Proposition (Théorèmes d’isomorphisme) : Soit HÌ G. Le groupe quotient G/H vérifie la propriété universelle suivante : quelques soient le groupe G¢ et le morphisme f : G ® G¢ , si H Í Ker f , il existe un unique morphisme  : G/H ® G¢ tel que f = · p . (On pose (xH) = (· p )(x) = f(x)). Soit f : G ® G¢ un morphisme de groupe, soit p  : G ® (G/Ker f) la surjection canonique, et soit i : Im f ® G¢ l’injection canonique. Il existe un unique isomorphisme  : (G/Ker f) ® Im f tel que i · · p = f.




4. Isomorphisme de Noether :

Soit H un sous groupe de G.

On note N_G(H) = {x Î G ; xHx^-1 = H} = c’est le plus grand sous groupe de G dans lequel H est distingué = c’est le normalisateur de H dans G. (HÌ G ó N_G(H) = G).

Proposition (Isomorphisme de Noether) : Soient H et K, deux sous groupes d’un groupe G avec K Í NG(H). Alors KH = HK est un sous groupe de G. De plus HÌ HK et HÇ KÌ K. Il existe aussi un isomorphisme canonique : K/HÇ K ® HK/H.





Corollaire : Soient H et K deux sous groupes d’un groupe G avec G = HK et HÇ K = {e}. Alors : Si HÌ G, alors G/H @ K Si HÌ G et KÌ G, alors G @ H´ K





 :

5. Groupes simples :

Un groupe G non trivial est dit simple si les seuls sous groupes distingués de G sont {e} et G.

Un groupe abélien G est simple ssi G est cyclique d’ordre p premier.

 :

Un groupe G est de type fini si G peut être engendré par un nombre fini d’éléments.

G = <x₁, …, x_n>. Supposons G abélien de type fini, alors tout x de G peut s’écrire :

x = (a_i Î Z) et en notation additive : x =

En général, cette écriture n’est pas unique, il y a des relations entre les x_i. Dans la suite de ce paragraphe, on utilisera la notation additive.

1. Notion de base :

Soit G un groupe abélien de type fini. Un système de générateurs x₁, …, x_n de G est une base de G s’il n’y a pas de relation non triviales entre les x_i, i.e. S a_ix_i = 0 avec a_i dans Z Þ " i a_i = 0. Si G a une base {x_i}_{1£ i£ n}, on dit que G est libre de rang n.

Remarques :

1. G est libre de rang n ó G @ Zⁿ.
2. Le rang d’un groupe libre G est bien défini.
3. Si G est libre, tout élément x ¹ 0 de G est d’ordre infini (i.e. ax = 0, a Î Z Þ a = 0).

 :

2. Le sous groupe de torsion de G :

G un groupe abélien ; on note ¡ (G) = {x Î G ; x d’ordre fini}, c’est un sous groupe de G, le sous groupe de torsion de G.

Proposition : Soit G un groupe abélien de type fini non trivial. Alors G libre ó ¡ (G) = {0}.





Corollaire : G groupe abélien de type fini. Alors G @ ¡ (G) ´ G/¡ (G). De plus, ¡ (G) est un groupe fini et G/¡ (G) est un groupe libre.




3. Un p-groupe :

Soit G un groupe abélien fini.

Définition : Soit p un nombre premier. Un groupe fini G est un p-groupe si |G| est une puissance de p.





Théorème : Tout groupe abélien fini G est isomorphe à un produit direct G1 ´ … ´ GS où chaque Gi est un pi-groupe cyclique avec pi diviseur premier de |G|.





Corollaire : G un groupe abélien fini, p un nombre premier. Alors pG = 0 ó s’il existe s ³ 1 tel que G @ (Z/pZ)s.




4. Lemme :

Lemme : Soient G1 et G2 deux groupes cycliques d’ordre n1 et n2 respectivement. Alors G1 ´ G2 est cyclique (d’ordre n1n2) ó n1 Ù n2 = 1.





Théorème : G groupe abélien de type fini. Il existe un unique entier r ³ 0 et une unique suite d’entiers ³ 2 : m1, …, ms telle que " i, mi+1 | mi et G @ (Z/m1Z ´ Z/m2Z ´ … ´ Z/msZ) ´ Zr ; r étant le rang de G et les mi sont des facteurs invariants de G.





Corollaire : Soit K un corps commutatif. Tout sous groupe fini du groupe multiplicatif K* est cyclique.




5. Structure des groupes (Z/nZ)* :

(Z/nZ)*  = {classe inversible d’entiers modulo n} est un groupe abélien fini d’ordre j (n).

Lemme : Soit m et n deux entiers premiers entre eux. Alors (Z/mnZ)* @ (Z/mZ)* ´ (Z/nZ)*.





Corollaire : Soit la décomposition de n en facteurs premiers (pi ¹ pj si i ¹ j). Alors (Z/nZ)* @





Proposition : Soit p un nombre premier impair et a ³ 1. Alors (Z/pa Z)* est cyclique donc isomorphe à . " a ³ 2 : Donc n’est pas cyclique si a ³ 3.





Corollaire : Soit n un entier ³ 2. Alors (Z/nZ)* est cyclique ssi n = 2, 4, pa ou 2pa avec p premier impair.





 

Soit G un groupe et E un ensemble non vide.

1. Définition :

Une action (ou une opération) à gauche de G sur E est la donnée d’une application j  : qui vérifie :

1. j (e_G,x) = x
2. j (g,j (g¢ ,x)) = j (gg¢ ,x)

On dit que le groupe G agit (ou opère) sur E.

Remarques :

Si se donner une action du groupe G sur E équivaut à se donner un morphisme de groupe r  : G ® S_E, on passe de l’un à l’autre par la formule : r (g)(x) = g.x " g Î G, " x Î E.

Si r est injectif i.e. g.x = x " x Î E Þ g = e_G, on dit que l’action est fidèle.

Si G agit sur E, considérons dans E la relation suivante : x ~ y ssi $ g Î G x = g.y. C’est une relation d’équivalence sur E. Soit x Î E, sa classe d’équivalence est l’ensemble W _x = {g.x ; g Î G}, c’est l’orbite de x (pour cette action). Une orbite est triviale si elle n’a qu’un seul élément. S’il n’y a qu’une seule orbite dans E, i.e. si " x, y Î E, $ g Î G avec x = g.y, on dit que G agit transitivement sur E. En général, G agit transitivement sur chaque orbite et les orbites distinctes forment une partition de E. Soit x Î E, {g Î G ; g.x = x} est un sous groupe de G, appelé le stabilisateur de x – Stab(x) – pour cette action.

Théorème : Soit W une orbite pour une action de G sur E ; fixons x Î W . L’application est une bijection. En particulier Card(W ) = [G : Stab(x)] L’application est une surjection.





Corollaire : G est un groupe qui agit sur E. Supposons G fini. Alors pour toute orbite W , Card(W ) | Card(G). Supposons E fini. Notons (W i)1£ i£ s les orbites distinctes dans E. " i, choisissons un point xi dans W i. Alors : Card(E) = – Equation aux classes. Supposons G et E finis. Pour g Î G, notons : Fix(g) = {x Î E ; g.x = x} le fixateur de g. Alors le nombre N d’orbites distinctes dans E est : N = – Formule de Burnside.




2. Exemples :

1. E un ensemble et G un sous groupe du groupe symétrique S_E. G agit fidèlement sur E par s .x = c(x) " c Î G et " x Î E.
2. G un groupe et H un sous groupe de G. Alors H agit sur G par translation à gauche h.g = hg. Cette action est fidèle, les orbites sont les classes à droite modulo H et les stabilisateurs sont tous triviaux.
3. Un groupe G agit sur lui-même par conjugaison : g.x = gxg^-1. Les orbites sont les classes de conjugaison (x et y sont conjugués dans G ssi $ g Î G avec y = gxg^-1). Le stabilisateur de x Î G est le sous groupe {g Î G ; gx = xg} = C_G(x) : le centralisateur de x dans G. Si G est fini, la formule de Burnside dit que le nombre de classes de conjugaison dans G est : .
4. Soit H un sous groupe d’un groupe G. Alors G agit sur (G/H)_g par translation à gauche : g.(xH) = gxH. Cette action est transitive.
5. Un groupe G agit par conjugaison sur l’ensemble de ses sous groupes : g.H = gHg^-1. Pour cette action, Stab(H) = N_G(H), et le nombre de sous groupe de G conjugués à un sous groupe fixé H est [G : N_G(H)].

 :

3. Théorème de Cauchy :

Théorème : Soit G un groupe fini et p un diviseur premier de |G|. Alors G contient au moins un élément d’ordre p.





Proposition : Soit p un nombre premier et G un p-groupe non trivial. Alors Z(G) est non trivial.





Corollaire : Soit p un nombre premier et soit G un groupe d’ordre p². Alors ou bien G @ Z/p²Z ou bien G @ Z/pZ ´ Z/pZ.

Soit E un ensemble fini à n éléments. Le groupe symétrique S_E est isomorphe au groupe S_n. Donc Card(S_E) = n !
Si F est une partie de E, alors S_F @ {s Î S_E ; s (x) = x, " x Î E\F}. Tout sous groupe G de S_E agit naturellement et fidèlement sur E par s .x = s (x).

1. Notion de cycle :

Soit s Î S_E fixé. Considérons le groupe cyclique <s >. Une orbite W pour l’action de <s > dans E s’appelle plus simplement une s -orbite. Si x Î W , alors W = {s ^k(x)}_{k Î Z} ; on dit que W est triviale si W = {x} i.e. s (x) = x.

Lemme : Soit W une s -orbite non triviale de cardinal m. Alors " x Î W , s (x) ¹ x, s m(x) = x et on a W = {x, s (x), s 2(x),…, s m-1(x)}.





Définition : Si s Î SE a une et une seule s -orbite non triviale W dans E, on dit que s est un cycle, que W est le support de s , que m = Card(W ) est la longueur du cycle. On dit aussi que s est un m-cycle. Un 2-cycle est appelé une transposition. Un n-cycle s (= cycle de longueur maximale) est appelé une permutation circulaire (dans ce cas <s > agit transitivement sur E).





Il sera commode de noter un m-cycle s comme suit : on choisit x₀ = x un élément du support de W , on pose x_i = s ⁱ(x) et on note s = (x₀, x₁, …, x_m-1).

Proposition : Un m-cycle s est d’ordre m. Deux cycles ont même longueur ssi ils sont conjugués dans SE.




2. Cycles disjoints :

On dira que deux cycles sont disjoints si leur support n’ont pas d’éléments communs (remarquons que deux cycles disjoints commutent).

Théorème : Le groupe SE est engendré par les cycles. De façon plus précise : " s Î SE, s ¹ IdE, $ c1,…,cs des cycles disjoints deux à deux tels que : s = . De plus, une telle décomposition est unique (à l’ordre près des facteurs). Enfin, o(c) = .





 :

3. Permutations conjuguées :

Soit s Î S_E. " k : 1 £ k £ n = Card(E). On note n _k(s ) = nombre de s -orbites à k éléments.

Théorème : Deux permutations s et s ¢ sont conjuguées dans le groupe SE ssi " k : 1 £ k £ n : n k(s ) = n k(s ¢ ).





Corollaire : Le nombre de classes de conjugaison dans le groupe Sn est égal au nombre de partition de n i.e. au nombre de solutions : (n 1,…,n n) avec n i Î ù de l’équation : n 1 + 2n 2 + … + nn n = n





Proposition : Le groupe Sn est engendré par les transpositions (mais en général, la décomposition en produit de transposition n’est pas unique). Le groupe Sn est engendré par : Les transpositions (i i+1) où 1 £ i £ n-1 Les transpositions (1 i) où 2 £ i £ n La transposition (1 2) et la permutation circulaire (1 2 … n)




4. Signature :

Théorème : Il existe un unique morphisme de groupe e  : SE ® Z* = {-1, 1} tel que e (t ) = -1 si t est une transposition. e (s ) est la signature de s et on a : où N(s ) est le nombre de s -orbites dans E.





Remarques :

1. Si s est un m-cycle : e (s ) = (-1)^m-1.
2. Si s Î S_n, e (s ) = (-1)^{I(s )} où I(s ) est le nombre d’inversion de s i.e. le nombre (i j) avec i < j et s (i) > s (j).
3. Une permutation s est dite paire [resp. impaire] si e (s ) = 1 [resp. si e (s ) = -1] ; ceci équivaut à dire que s est le produit d’un nombre pair [impair] de transpositions.
4. Ker e = {permutations paires} est un sous groupe distingué d’indice 2 dans S_E, noté A_E, le groupe alterné de E. On note A_n le sous groupe alterné de S_n.

 :

5. Sous groupes distingués de S_n :

Lemme : Z(Sn) est trivial si n ¹ 2.





Théorème : Pour n ¹ 4, les seuls sous groupes distingués de Sn sont {e}, An et Sn. Pour n = 4, les seuls sous groupes distingués de Sn sont {e}, K = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, A4, S4.




6. Simplicité des groupes alternés :

Théorème : An est simple ssi n ¹ 2 ou 4.