Chapitre 3
Continuité des fonctions de ú n dans ú p
f : 
ú n
® ú p
U = ensemble de définition
f(U) = ensemble image
Graphe de f = Gf = { (x,y) Î U´ ú p ; y = f(x) }
Exemple :
ú 3 ® ú 2
(x, y, z) ® (x² + y² , sin(x+y+z)) = f(x, y, z) = (f1(x, y, z) , f2(x, y, z))
Applications Composantes :
f1 : ú 3 ® ú
(x, y, z) ® x² + y² -------------------------------- 1ère Composante
f2 : (x, y, z) ® sin (x+y+z) ------------------- 2ème Composante
Applications Partielles :
Soit (a, b, c) Î ú 3 fixé
1ère Application Partielle : x ® (x² + b² , sin(x+b+c))
2ème Application Partielle : y ® (a² + y² , sin(a+y+c))
3ème Application Partielle : z ® (a² + b² , sin(a+b+z))
Graphe de f :
Gf = { (x, y, z, u, v) Î ú 5 ; (x, y, z) Î ú 3 , u = f1(x, y, z) , v = f2(x, y, z) }
f: A partie de ú n ® ú p
Soit a Î 
Définition :
On dit que l est la limite de f quand x tend vers a dans A (x ¹ a) si :
" e > 0 $ h > 0 0 £ 2 x – a2 £ h et x Î A Þ 2 f(x) – l2 < e
On notera : 
car ce vecteur est unique.
Cette notion est locale, i.e. : " a > 0 
Si A est un voisinage de a, i.e. : $ a > 0 tq a Î B(a,a [ Ì A, alors on note
simplement :
Rappel sur la notion de Voisinage :
On appelle voisinage d’un point a de E, une partie V de E contenant une boule ouverte de centre a. Un point a de E est dit adhérent à une partie A de E si tout voisinage de a contient au moins un point de A (ou si toute boule de centre a rencontre A).
Proposition :
a Î
ssi pour toute suite (xn)n
de points de A\{a} convergeant vers a, la suite (f(xn))n
converge vers l.
Cette proposition sert souvent pour montrer que f(x) n’a pas de limite lorsque x tend vers a.
Les théorèmes classiques sur les limites restent vrais (somme, multiplication par un scalaire ; produit, quotient lorsque p = 1 ; composition par une application continue de ú dans ú .). Les formes indéterminées sont encore : ¥ - ¥ , 0/0, ¥ /¥ , 0´ ¥ , 00, ¥ 0, 1¥ .
Proposition :
Soient f et g : A Ì ú n ® ú et a Î
Si l1 = 
et l2 = 
existent et s’il existe r > 0 tel que :
" x Î ( AÇ B(a,r[ )\{a} f(x) £ g(x) ( ou f(x) < g(x) ) alors 11 £ l2
Attention :
A la limite, les inégalités strictes deviennent larges !
Extension de la définition aux limites infinies :
Définition :
f : A ® ú p et a Î
ó " M > 0 $ h > 0 0 < 2 x – a2 < h et x Î A Þ 2 f(x)2 ³ M
Définition :
f : A ® ú (p = 1) et a Î
ó " M > 0 $ h > 0 0 < 2 x – a2 < h et x Î A Þ f(x) > M
ó " M > 0 $ h > 0 0 < 2 x – a2 < h et x Î A Þ f(x) < – M
Définition :
A non bornée et f : A ® ú p
ó " e > 0 $ M > 0 2 x2 > M et x Î A Þ 2 f(x) – l2 < e
ó " M > 0 $ M¢ > 0 2 x2 > M¢ et x Î A Þ 2 f(x)2 ³ M
Soit f : A Ì ú n ® ú p et
a Î A,
on dit que f est continue en a sur A si : 
, i.e. :
" e > 0 $ h > 0 0 £ 2 x – a2 £ h et x Î A Þ 2 f(x) – f(a)2 < e
Proposition :
f est continue en a sur A ssi pour toute suite (xn)n de points de A convergente vers a, la suite (f(xn))n converge vers f(a) dans ú p.
Si A est un voisinage de a : on dit simplement que f est continue en a (pas besoin de préciser " sur A ")
Remarquons que si a est isolé : la simple définition de f(a) assure la continuité.
Corollaire :
Soit a Î B Ì A
Si f est continue en a sur A, f est continue en a sur B.
La réciproque est fausse.
En particulier, si A est un voisinage de a, f continue en a implique que toutes les applications partielles sont continues au point ai correspondant ; la réciproque est fausse.
ATTENTION :
Ne pas confondre application partielle et application composante ; pour ces dernières on a le théorème suivant :
Théorème :
f est continue en a sur A ssi les applications composantes fi sont continues en a sur A
Théorème de composition :
f : A Ì ú n ® ú p et g : f(A) Ì ú p ® ú q
Si f est continue en a sur A et g continue en f(a) sur f(A), g· f est continue en a sur A.
On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point a Î A.
Théorème :
Si A est un ouvert [resp. fermé] de ú n, f est continue sur A ssi " Uouvert [Ffermé] de ú p f- 1(U) [f- 1(F)] est un ouvert [fermé] de ú n.
En langage écrit, il revient au même de dire :
Soit f : D Ì E ® F
Si A n’est ni ouvert, ni fermé on a le résultat mais f- 1(U) [resp. f- 1(F)] est un ouvert [un fermé] de A.
Corollaire :
f continue de A dans ú
Soit x0 Î A, on suppose que A est un voisinage de x0 et que f(x0) > 0
alors $ a > 0 " x Î B(x0,a [ f(x) > 0
Théorème :
f : K Ì ú n ® ú p où f est une application continue et K un compact de ú n, alors f(K) est un compact de ú p
Corollaire :
f : K Ì ú n ® ú où f est une application continue et K un compact,
alors f est bornée et atteint ses bornes, i.e. 
existent.
Corollaire :
Si F est un fermé non vide de ú n et f : F Ì ú n ® ú une application continue minorée : f atteint sa borne inférieure ssi il existe une suite minimisante bornée.
Définition :
On dit que (xn)n une
suite de points de F est minimisante pour f sur F si 
Théorème :
U ouvert connexe de ú n
f : U ® ú continue
Pour tout couple (a,b) de points de U, f prend toutes les valeurs de l’intervalle de ú limité par f(a) et f(b).
On a un théorème plus général :
Théorème :
Soit C un connexe de ú n
Si f : C ® ú p continue, alors f(C) est un connexe de ú p
Définition :
Soit f : A Ì ú n ® ú p , on dit que f est uniformément continue sur A si :
" e > 0 $ h > 0 2 x – y2 £ h et x,y Î A Þ 2 f(x) – f(y)2 < e
La continuité uniforme implique la continuité. La réciproque est fausse.
Théorème de Heine :
Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Théorème de prolongement :
Soit f : A Ì ú n ® ú p uniformément continue, alors f se prolonge en une fonction continue (même uniformément continue) sur A.
Lemme :
Si (xn)n est une suite de Cauchy, (f(xn))n est une suite de Cauchy lorsque f est uniformément continue.
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